Jika 𝑦=𝑥^𝑥 (1+𝑙𝑛𝑥)  𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛    𝑑𝑦/𝑑𝑥


Untuk menentukan turunan \( \frac{dy}{dx} \) dari fungsi \( y = x^x(1 + \ln x) \), kita dapat menggunakan aturan hasil kali dan aturan rantai. Mari kita pecahkan langkah demi langkah.

### Fungsi yang diberikan:
\[
y = x^x (1 + \ln x)
\]

#### Langkah 1: Turunan dari \( x^x \)
Turunan dari \( x^x \) dapat diperoleh dengan mengubah bentuknya terlebih dahulu menggunakan logaritma:

\[
x^x = e^{x \ln x}
\]

Turunan dari \( e^{x \ln x} \) menggunakan aturan rantai adalah:

\[
\frac{d}{dx} x^x = \frac{d}{dx} \left( e^{x \ln x} \right) = e^{x \ln x} \cdot \frac{d}{dx} (x \ln x)
\]

Sekarang kita hitung turunan dari \( x \ln x \):

\[
\frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + 1
\]

Jadi, turunan dari \( x^x \) adalah:

\[
\frac{d}{dx} x^x = x^x (\ln x + 1)
\]

#### Langkah 2: Terapkan aturan hasil kali
Sekarang kita terapkan aturan hasil kali untuk menghitung turunan dari \( y = x^x (1 + \ln x) \):

Aturan hasil kali menyatakan:
\[
\frac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) = u'v + uv'
\]

Di sini, \( u = x^x \) dan \( v = 1 + \ln x \). Dari langkah sebelumnya, kita tahu bahwa turunan dari \( u \) adalah \( u' = x^x (\ln x + 1) \), dan turunan dari \( v \) adalah:

\[
v' = \frac{d}{dx} (1 + \ln x) = \frac{1}{x}
\]

Sekarang, gunakan aturan hasil kali:

\[
\frac{dy}{dx} = u'v + uv'
\]

Substitusikan nilai-nilai yang telah kita hitung:

\[
\frac{dy}{dx} = \left( x^x (\ln x + 1) \right)(1 + \ln x) + \left( x^x \right) \left( \frac{1}{x} \right)
\]

#### Langkah 3: Sederhanakan
Mari kita sederhanakan hasilnya:

\[
\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)(1 + \ln x) + x^{x-1}
\]

Jadi, turunan \( \frac{dy}{dx} \) dari fungsi \( y = x^x (1 + \ln x) \) adalah:

\[
\boxed{\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)(1 + \ln x) + x^{x-1}}
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci tentang salah satu langkah, atau ada pertanyaan lain?

#### Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menghitung turunan fungsi yang lebih kompleks dengan aturan hasil kali?
2. Bagaimana cara menyederhanakan hasil turunan dari bentuk eksponensial seperti \( x^x \)?
3. Mengapa penggunaan logaritma penting dalam menurunkan fungsi dengan eksponen variabel?
4. Bagaimana peran aturan rantai dalam turunan fungsi komposit?
5. Apa perbedaan antara turunan eksplisit dan implisit dalam konteks ini?

**Tip:** Saat menghadapi eksponen variabel seperti \( x^x \), logaritma dapat sangat membantu untuk menyederhanakan proses penurunan.

Jika 𝑦 = 𝑥^𝑥 (1+𝑙𝑛𝑥) tentukan dy/dx

Explore how to calculate the derivative of the function y = x^x(1 + ln x) using the product rule, chain rule, and logarithmic differentiation. Detailed steps include differentiating x^x and applying calculus rules. Suitable for advanced high school and college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation