Tehtävänä on derivoida funktio $f(x) = (x^3 - e^{2x})(e^{-x} + \ln{x})$. Käytämme tulon derivoimissääntöä, joka tunnetaan myös tulon säännönä. Tulon sääntö sanoo, että jos funktio on kahden funktion tulo, eli $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, niin $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$.

Merkitään:

• $u(x) = x^3 - e^{2x}$
• $v(x) = e^{-x} + \ln{x}$

1. Derivoidaan $u(x)$:

• $u(x) = x^3 - e^{2x}$
• $u'(x) = 3x^2 - 2e^{2x}$

2. Derivoidaan $v(x)$:

• $v(x) = e^{-x} + \ln{x}$
• $v'(x) = -e^{-x} + \frac{1}{x}$

3. Käytetään tulon sääntöä:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Korvataan johdetut $u'(x)$, $u(x)$, $v'(x)$, ja $v(x)$ alkuperäiseen lausekkeeseen:

$f'(x) = (3x^2 - 2e^{2x}) \cdot (e^{-x} + \ln{x}) + (x^3 - e^{2x}) \cdot (-e^{-x} + \frac{1}{x})$

Tämä on funktiosi derivaatta.

Haluatko, että yksinkertaistan lauseketta vielä pidemmälle?

Tässä 5 jatkokysymystä, jotka liittyvät aiheeseen:

1. Miten tulon sääntö toimii, jos funktioita on enemmän kuin kaksi?
2. Miten ketjusääntöä käytetään, jos eksponentti on monimutkaisempi funktio?
3. Miten logaritmin derivaatta käyttäytyy, kun pohja on jokin muu kuin e?
4. Miten derivoidaan funktio, joka sisältää sekä logaritmeja että trigonometrisiä funktioita?
5. Miten tulon sääntöä sovelletaan kolmeen tai useampaan kertaan tulotettuun funktioon?

Vinkki: Eksponenttifunktioiden ja logaritmien johdannaiset ovat usein keskeisiä erityisesti luonnontieteissä ja taloustieteissä, koska ne kuvaavat kasvua ja muutoksia!