Um die Ableitung von $f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ zu berechnen, verwenden wir die Quotientenregel. Die Quotientenregel für die Ableitung einer Funktion der Form $\frac{u(x)}{v(x)}$ lautet:

$\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$

In unserem Fall ist $u(x) = \sin(x)$ und $v(x) = \cos(x)$. Wir benötigen also die Ableitungen von $\sin(x)$ und $\cos(x)$:

$u'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)$ $v'(x) = \frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)$

Nun wenden wir die Quotientenregel an:

$f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)}$ $f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$

Da $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ ist (aufgrund der trigonometrischen Identität), vereinfacht sich der Ausdruck zu:

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$

Da $\frac{1}{\cos^2(x)}$ auch als $\sec^2(x)$ geschrieben werden kann, erhalten wir:

$f'(x) = \sec^2(x)$

Die Ableitung von $f(x) = \tan(x)$ lautet also:

$f'(x) = \sec^2(x)$

Möchtest du mehr Details zu einem der Schritte, oder hast du weitere Fragen?

Hier sind fünf verwandte Fragen, die das Verständnis erweitern:

1. Wie leitet man die Quotientenregel allgemein her?
2. Was ist die Ableitung von $\sec(x)$?
3. Wie verhält sich die Ableitung von $\tan(x)$ im Vergleich zur Ableitung anderer trigonometrischer Funktionen?
4. Welche Rolle spielen die trigonometrischen Identitäten bei der Vereinfachung von Ableitungen?
5. Wie berechnet man die Ableitung von $\tan^2(x)$?

Tipp: Behalte die trigonometrischen Identitäten immer im Hinterkopf, sie sind sehr hilfreich beim Vereinfachen von Ausdrücken in der Analysis.