Um die Ableitung von \( f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) zu berechnen, verwenden wir die Quotientenregel. Die Quotientenregel für die Ableitung einer Funktion der Form \( \frac{u(x)}{v(x)} \) lautet:

\[
\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}
\]

In unserem Fall ist \( u(x) = \sin(x) \) und \( v(x) = \cos(x) \). Wir benötigen also die Ableitungen von \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \):

\[
u'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)
\]

Nun wenden wir die Quotientenregel an:

\[
f'(x) = \frac{\cos(x)\cos(x) - \sin(x)(-\sin(x))}{\cos^2(x)}
\]
\[
f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}
\]

Da \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \) ist (aufgrund der trigonometrischen Identität), vereinfacht sich der Ausdruck zu:

\[
f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}
\]

Da \( \frac{1}{\cos^2(x)} \) auch als \( \sec^2(x) \) geschrieben werden kann, erhalten wir:

\[
f'(x) = \sec^2(x)
\]

Die Ableitung von \( f(x) = \tan(x) \) lautet also:

\[
f'(x) = \sec^2(x)
\]

Möchtest du mehr Details zu einem der Schritte, oder hast du weitere Fragen?

Hier sind fünf verwandte Fragen, die das Verständnis erweitern:
1. Wie leitet man die Quotientenregel allgemein her?
2. Was ist die Ableitung von \( \sec(x) \)?
3. Wie verhält sich die Ableitung von \( \tan(x) \) im Vergleich zur Ableitung anderer trigonometrischer Funktionen?
4. Welche Rolle spielen die trigonometrischen Identitäten bei der Vereinfachung von Ableitungen?
5. Wie berechnet man die Ableitung von \( \tan^2(x) \)?

**Tipp:** Behalte die trigonometrischen Identitäten immer im Hinterkopf, sie sind sehr hilfreich beim Vereinfachen von Ausdrücken in der Analysis.

Learn how to find the derivative of the trigonometric function f(x) = tan(x) using the quotient rule. This solution includes key calculus concepts like differentiation and trigonometric identities, ideal for Grade 11-12 and college-level students.

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