Diberikan fungsi $f(x) = \left( \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{\frac{2}{3}} + x \right)^4$, kita diminta untuk mencari turunan pertama $f'(x)$.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1. Gunakan Aturan Rantai

Kita memiliki fungsi yang berbentuk komposisi, sehingga kita bisa menggunakan aturan rantai. Misalkan:

$u(x) = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{\frac{2}{3}} + x$

Sehingga fungsi $f(x)$ dapat ditulis ulang menjadi:

$f(x) = u(x)^4$

Maka, turunan dari $f(x)$ terhadap $x$ adalah:

$f'(x) = 4u(x)^3 \cdot u'(x)$

2. Hitung Turunan dari $u(x)$

Sekarang kita perlu mencari turunan dari $u(x) = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{\frac{2}{3}} + x$.

2.1 Turunan dari $\left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{\frac{2}{3}}$

Gunakan aturan rantai untuk menurunkan komponen pertama. Misalkan $v(x) = \frac{x-1}{x+1}$, sehingga:

$\left( v(x) \right)^{\frac{2}{3}} \quad \text{turunannya adalah} \quad \frac{2}{3} \cdot v(x)^{-\frac{1}{3}} \cdot v'(x)$

Sekarang hitung $v'(x)$ untuk $v(x) = \frac{x-1}{x+1}$. Gunakan aturan hasil bagi:

$v'(x) = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

Sehingga turunan dari $\left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{\frac{2}{3}}$ adalah:

$\frac{2}{3} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2}$

2.2 Turunan dari $x$

Turunan dari $x$ terhadap $x$ adalah 1.

3. Gabungkan Semua

Sekarang, turunan dari $u(x)$ adalah:

$u'(x) = \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} + 1$

4. Masukkan ke Dalam Turunan $f'(x)$

Akhirnya, turunan dari $f(x)$ menjadi:

$f'(x) = 4 \left( \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{\frac{2}{3}} + x \right)^3 \cdot \left( \frac{2}{3} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} + 1 \right)$

Ini adalah bentuk akhir dari turunan $f'(x)$.

---

Apakah Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan mengenai langkah-langkah ini?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana aturan rantai digunakan dalam konteks turunan fungsi komposisi?
2. Bagaimana cara menerapkan aturan hasil bagi pada turunan?
3. Apa itu aturan rantai dan bagaimana menggunakannya secara efisien?
4. Mengapa kita harus menurunkan komponen-komponen fungsi secara terpisah?
5. Bagaimana cara menyederhanakan hasil turunan yang kompleks?

Tip: Saat menghitung turunan fungsi yang rumit, selalu pisahkan komponen-komponen yang lebih kecil untuk memudahkan proses perhitungan.