Démonstration du Binôme de Newton par récurrence 

Pour démontrer la formule du binôme de Newton par récurrence, nous devons montrer que, pour tout entier naturel \( n \geq 0 \), la formule suivante est vraie :

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
\]

où \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n-k)!} \) est le coefficient binomial.

### Étape 1 : Initialisation

Pour \( n = 0 \), la formule donne :

\[
(a + b)^0 = 1.
\]

D'un autre côté, la somme pour \( n = 0 \) est :

\[
\sum_{k=0}^{0} \binom{0}{k} a^{0-k} b^k = \binom{0}{0} a^0 b^0 = 1.
\]

Les deux côtés sont égaux, donc la propriété est vraie pour \( n = 0 \).

### Étape 2 : Hypothèse de récurrence

Supposons que la formule est vraie pour un certain entier \( n = p \), c'est-à-dire :

\[
(a + b)^p = \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a^{p-k} b^k.
\]

### Étape 3 : Passage de l'indice \( p \) à \( p+1 \)

Montrons que la formule est vraie pour \( n = p + 1 \). En utilisant l'hypothèse de récurrence, nous avons :

\[
(a + b)^{p+1} = (a + b) \cdot (a + b)^p.
\]

En substituant l'hypothèse de récurrence :

\[
(a + b)^{p+1} = (a + b) \cdot \left( \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a^{p-k} b^k \right).
\]

Distribuons \( (a + b) \) à l'intérieur de la somme :

\[
(a + b)^{p+1} = \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a^{p-k+1} b^k + \sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a^{p-k} b^{k+1}.
\]

Nous pouvons maintenant réindexer la deuxième somme pour l'aligner avec la première. Posons \( j = k + 1 \), ce qui donne :

\[
\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k} a^{p-k} b^{k+1} = \sum_{j=1}^{p+1} \binom{p}{j-1} a^{p+1-j} b^j.
\]

En remplaçant dans l'équation précédente, on obtient :

\[
(a + b)^{p+1} = \binom{p}{0} a^{p+1} + \sum_{k=1}^{p} \left( \binom{p}{k} + \binom{p}{k-1} \right) a^{p+1-k} b^k + \binom{p}{p} b^{p+1}.
\]

Or, d'après la propriété des coefficients binomiaux :

\[
\binom{p+1}{k} = \binom{p}{k} + \binom{p}{k-1}.
\]

Nous pouvons alors écrire :

\[
(a + b)^{p+1} = \sum_{k=0}^{p+1} \binom{p+1}{k} a^{p+1-k} b^k.
\]

### Conclusion

Nous avons montré que si la formule est vraie pour \( n = p \), alors elle est également vraie pour \( n = p+1 \). Comme elle est vraie pour \( n = 0 \), par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel \( n \geq 0 \).

Ainsi, la démonstration du binôme de Newton par récurrence est complétée.

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Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? Voici quelques questions connexes que vous pourriez trouver intéressantes :

1. Comment appliquer la formule du binôme de Newton pour un exemple particulier ?
2. Quelles sont les applications pratiques de la formule du binôme de Newton ?
3. Comment démontrer la formule du binôme de Newton en utilisant une approche combinatoire ?
4. Pourquoi la propriété des coefficients binomiaux est-elle importante dans cette démonstration ?
5. Quelle est la relation entre le binôme de Newton et le triangle de Pascal ?

**Tip :** Utiliser le triangle de Pascal peut être une façon rapide de calculer des coefficients binomiaux pour de petits nombres.

Démonstration du Binôme de Newton par récurrence

Explore the step-by-step demonstration of the Binomial Theorem using mathematical induction. This guide walks through the proof process, covering the binomial expansion formula, binomial coefficients, and the principle of induction. Ideal for students in Grades 10-12.

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