Sea f apóstrofo apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho una función continua, además :

f paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho igual menos 1 coma espacio f paréntesis izquierdo 5 paréntesis derecho igual menos 4 coma espacio f apóstrofo paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho igual 4 coma espacio f apóstrofo paréntesis izquierdo 5 paréntesis derecho igual 2

entonces

integral subíndice 1 fin subíndice superíndice 5 fin superíndice x por f apóstrofo apóstrofo paréntesis izquierdo x paréntesis derecho d x igualRespuesta

La integral que se pide calcular es:

\[
\int_{1}^{5} x \cdot f''(x) \, dx
\]

Para resolver esta integral, utilizaremos la técnica de integración por partes. En esta técnica, la integral de \( u \cdot dv \) se transforma en:

\[
\int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du
\]

### Paso 1: Definir las funciones
Elijamos las funciones \( u \) y \( dv \) de la siguiente manera:

- \( u = x \) (de modo que \( du = dx \))
- \( dv = f''(x) \, dx \) (de modo que \( v = f'(x) \))

### Paso 2: Aplicar la fórmula de integración por partes
La integral se transforma en:

\[
\int_{1}^{5} x \cdot f''(x) \, dx = x \cdot f'(x) \Big|_1^5 - \int_{1}^{5} f'(x) \, dx
\]

### Paso 3: Evaluar la primera parte
Ahora evaluemos \( x \cdot f'(x) \) en los límites de integración:

\[
x \cdot f'(x) \Big|_1^5 = 5 \cdot f'(5) - 1 \cdot f'(1)
\]

Sabemos que:

- \( f'(5) = 2 \)
- \( f'(1) = 4 \)

Sustituyendo estos valores:

\[
5 \cdot f'(5) - 1 \cdot f'(1) = 5 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 10 - 4 = 6
\]

### Paso 4: Evaluar la segunda parte
Ahora, evaluemos la segunda parte, que es la integral de \( f'(x) \):

\[
\int_{1}^{5} f'(x) \, dx = f(5) - f(1)
\]

Sabemos que:

- \( f(5) = -4 \)
- \( f(1) = -1 \)

Entonces:

\[
f(5) - f(1) = -4 - (-1) = -4 + 1 = -3
\]

### Paso 5: Combinar resultados
Finalmente, combinamos los resultados de las dos partes:

\[
6 - (-3) = 6 + 3 = 9
\]

### Respuesta final:
El valor de la integral es:

\[
\int_{1}^{5} x \cdot f''(x) \, dx = 9
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se realiza la integración por partes en otros ejemplos?
2. ¿Cómo encontrar \( f'(x) \) y \( f''(x) \) de una función dada?
3. ¿Qué otros métodos existen para resolver integrales?
4. ¿Cómo se aplican los límites de integración en las integrales definidas?
5. ¿Qué sucede si \( f(x) \) no es continua en el intervalo dado?

### Tip:  
Recuerda que la integración por partes es útil cuando se trata de la integral de un producto de funciones.

Sea f''(x) una función continua, además: f(1) = -1, f(5) = -4, f'(1) = 4, f'(5) = 2. Entonces, \( \int_{1}^{5} x \cdot f''(x) dx \) = ?

Learn how to solve the definite integral \( \int_{1}^{5} x \cdot f''(x) dx \) using integration by parts. The solution involves applying the integration by parts formula and using given values for f(1), f(5), f'(1), and f'(5). This problem is suitable for university-level calculus students.

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