Az integrálási folyamat és az eredmények lépésenkénti magyarázata a következő:

Első integrálási feladat:

$\int_{0}^{3} \left( -x^2 + 3x \right) \, dx$

1. Integrandus felbontása: $-x^2 + 3x$-et integráljuk, így külön-külön vesszük a tagokat.

2. Integrálás:

   • Az $-x^2$ primitív függvénye: $-\frac{x^3}{3}$
   • A $3x$ primitív függvénye: $\frac{3x^2}{2}$

   Tehát a primitív függvény: $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}$

3. Határok behelyettesítése: A határok: $0$-tól $3$-ig.

   • Behelyettesítjük $3$-at: $F(3) = -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} = -9 + \frac{27}{2}$ Ez $-9 + 13.5 = 4.5$.

   • Behelyettesítjük $0$-t: $F(0) = -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} = 0$

   Tehát az eredmény: $F(3) - F(0) = 4.5$

Második integrálási feladat:

$\int \left( \frac{4}{x^3} + \sqrt[7]{x} + 3x \right) \, dx$

1. Integrandus szétválasztása:

   • Első tag: $\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}$
   • Második tag: $\sqrt[7]{x} = x^{1/7}$
   • Harmadik tag: $3x$

2. Integrálás:

   • Az $4x^{-3}$ primitív függvénye: $-\frac{4}{2}x^{-2} = -2x^{-2}$
   • Az $x^{1/7}$ primitív függvénye: $\frac{x^{8/7}}{8/7} = \frac{7}{8}x^{8/7}$
   • A $3x$ primitív függvénye: $\frac{3x^2}{2}$

   Tehát az eredmény: $-2x^{-2} + \frac{7}{8}x^{8/7} + \frac{3x^2}{2} + C$

Ezek alapján az eredmények megegyeznek a képen szereplő megoldásokkal.

Van további kérdésed vagy részleteznem kellene még valamit?

5 Kapcsolódó kérdés:

1. Hogyan kezeljük az integrálás során az $x$ kitevőjét?
2. Miért adjuk hozzá a konstans $C$-t a határozatlan integrálnál?
3. Hogyan számolhatók ki pontosabban a határokat tartalmazó integrálok?
4. Mi a különbség a határozott és határozatlan integrál között?
5. Mikor kell különös figyelmet fordítani az $x^{-n}$ alakú tagokra?

Tipp:

Mindig ellenőrizd a számításaidat az integrálás után deriválással, hogy biztos legyél a helyességében!