(5x ^ 2 + 23x - 7)/((x - 1) * (x + 3) ^ 2) Nyatakan fungsi pecahan berikut menjadi fungsi pecahan sebagian

Untuk menyatakan fungsi pecahan \(\frac{5x^2 + 23x - 7}{(x - 1)(x + 3)^2}\) menjadi fungsi pecahan parsial, kita akan menggunakan metode pecahan parsial. Proses ini melibatkan mengekspresikan fungsi pecahan sebagai jumlah pecahan yang lebih sederhana. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

1. **Tuliskan bentuk pecahan parsial:**

Karena penyebutnya \((x - 1)(x + 3)^2\), kita akan mengekspresikan pecahan sebagai jumlah dari bentuk pecahan yang sesuai dengan faktor-faktornya:
\[
\frac{5x^2 + 23x - 7}{(x - 1)(x + 3)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2}
\]

2. **Gabungkan pecahan parsial menjadi satu pecahan:**

\[
\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3} + \frac{C}{(x + 3)^2} = \frac{A(x + 3)^2 + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)^2}
\]

3. **Setarakan pembilang dari pecahan asli dengan pembilang gabungan:**

\[
5x^2 + 23x - 7 = A(x + 3)^2 + B(x - 1)(x + 3) + C(x - 1)
\]

4. **Ekspansi pembilang dari pecahan parsial:**

Ekspansi dari \(A(x + 3)^2\):
\[
A(x + 3)^2 = A(x^2 + 6x + 9)
\]

Ekspansi dari \(B(x - 1)(x + 3)\):
\[
B(x - 1)(x + 3) = B(x^2 + 3x - x - 3) = B(x^2 + 2x - 3)
\]

Ekspansi dari \(C(x - 1)\):
\[
C(x - 1) = Cx - C
\]

Gabungkan semua:
\[
A(x^2 + 6x + 9) + B(x^2 + 2x - 3) + C(x - 1) = (A + B)x^2 + (6A + 2B + C)x + (9A - 3B - C)
\]

5. **Kompresikan dan setarakan koefisien:**

Dari:
\[
5x^2 + 23x - 7 = (A + B)x^2 + (6A + 2B + C)x + (9A - 3B - C)
\]

Setarakan koefisien untuk setiap pangkat \(x\):

Untuk \(x^2\):
\[
A + B = 5
\]

Untuk \(x\):
\[
6A + 2B + C = 23
\]

Untuk konstanta:
\[
9A - 3B - C = -7
\]

6. **Selesaikan sistem persamaan linear:**

Dari \(A + B = 5\), kita dapat menulis \(B = 5 - A\).

Substitusikan \(B\) ke persamaan \(6A + 2B + C = 23\):
\[
6A + 2(5 - A) + C = 23
\]
\[
6A + 10 - 2A + C = 23
\]
\[
4A + C = 13
\]
\[
C = 13 - 4A
\]

Substitusikan \(B\) dan \(C\) ke persamaan \(9A - 3B - C = -7\):
\[
9A - 3(5 - A) - (13 - 4A) = -7
\]
\[
9A - 15 + 3A - 13 + 4A = -7
\]
\[
16A - 28 = -7
\]
\[
16A = 21
\]
\[
A = \frac{21}{16}
\]

Kemudian, \(B = 5 - A\):
\[
B = 5 - \frac{21}{16} = \frac{80}{16} - \frac{21}{16} = \frac{59}{16}
\]

Dan, \(C = 13 - 4A\):
\[
C = 13 - 4\left(\frac{21}{16}\right) = \frac{208}{16} - \frac{84}{16} = \frac{124}{16} = \frac{31}{4}
\]

Jadi, fungsi pecahan parsialnya adalah:
\[
\frac{5x^2 + 23x - 7}{(x - 1)(x + 3)^2} = \frac{\frac{21}{16}}{x - 1} + \frac{\frac{59}{16}}{x + 3} + \frac{\frac{31}{4}}{(x + 3)^2}
\]

Apakah Anda memerlukan rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

**Pertanyaan Lanjutan:**
1. Bagaimana cara menyelesaikan pecahan parsial dengan penyebut yang memiliki faktor berulang?
2. Apa yang terjadi jika penyebut dari pecahan adalah polinomial kuadrat tak dapat difaktorkan?
3. Bagaimana menentukan konstan \(A\), \(B\), dan \(C\) jika penyebut memiliki lebih dari dua faktor linear?
4. Bagaimana cara mengecek kembali hasil dari pecahan parsial?
5. Apa aplikasi praktis dari pecahan parsial dalam kalkulus?
6. Bagaimana pecahan parsial digunakan dalam pemrosesan sinyal?
7. Apakah pecahan parsial selalu mungkin untuk semua bentuk pecahan rasional?
8. Bagaimana pecahan parsial dapat membantu dalam menghitung integral tertentu?

**Tip:** Dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, substitusi dan eliminasi adalah teknik yang berguna untuk menemukan solusi variabel.

Learn how to decompose the fraction (5x^2 + 23x - 7)/((x - 1)(x + 3)^2) into partial fractions step-by-step. This problem involves advanced algebraic concepts including partial fraction decomposition and polynomial division. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation