一辺の長さが6の正方形を底面とし、高さが4の直方体の容器Aと、容器Aの底面の対角線の長さの半分を円の直径とする円柱の容器Bがある。容器A、Bの厚みは考えない。

　図のように、容器Aの中に容器Bを置く。容器Bに水を静かに注ぎ、容器Bから水を溢れさせる。その後も容器Bに水を注ぎ続ける。溢れた水は全て容器Aに入る。容器Aがいっぱいになったとき、水を注ぐのをやめる。容器A、Bに入っている水の体積の和は、容器Aの直方体としての体積のちょうど5/4倍となる。このとき、容器Bの高さを求めなさい。なお、容器A、Bの底面同士は常に接しているものとし、表面張力は考えない

問題を解くには、以下の手順で進めます。

### 1. 容器Aの体積を求める
容器Aは底面が正方形で、一辺の長さが6、高さが4の直方体です。

直方体の体積は底面積×高さで求められます。底面積は正方形の面積なので、

\[
底面積 = 6 \times 6 = 36
\]

したがって、容器Aの体積は

\[
V_A = 36 \times 4 = 144
\]

です。

### 2. 容器Bの底面の直径を求める
容器Bの底面の直径は、容器Aの底面の対角線の長さの半分です。容器Aの底面は正方形なので、その対角線の長さは次の式で求められます。

\[
対角線 = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
\]

したがって、容器Bの底面の直径は

\[
直径 = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}
\]

となります。

容器Bの半径 \( r \) は直径の半分なので、

\[
r = \frac{3\sqrt{2}}{2}
\]

です。

### 3. 容器Bの体積を求める
容器Bは円柱なので、その体積は底面積×高さで求められます。底面積は円の面積 \( \pi r^2 \) で与えられます。

\[
底面積 = \pi \left( \frac{3\sqrt{2}}{2} \right)^2 = \pi \frac{18}{4} = \frac{9\pi}{2}
\]

容器Bの体積を \( V_B \) とし、高さを \( h_B \) とすると、

\[
V_B = \frac{9\pi}{2} \times h_B
\]

となります。

### 4. 容器A、Bに入っている水の体積の和を求める
問題文より、容器Aがいっぱいになったとき、容器Aと容器Bに入っている水の体積の和は、容器Aの体積の5/4倍であることがわかります。したがって、容器Aと容器Bに入っている水の体積の和は

\[
\frac{5}{4} \times V_A = \frac{5}{4} \times 144 = 180
\]

となります。

容器Aに入っている水の体積は、容器Aの体積 \( 144 \) から容器Bの体積 \( V_B \) を引いたものです。したがって、次の式が成り立ちます。

\[
144 - V_B + V_B = 180
\]

つまり、容器Bの体積は次のようになります。

\[
V_B = 180 - 144 = 36
\]

### 5. 容器Bの高さを求める
容器Bの体積は \( V_B = 36 \) なので、次の式が成り立ちます。

\[
\frac{9\pi}{2} \times h_B = 36
\]

この式を解くと、容器Bの高さ \( h_B \) は次のようになります。

\[
h_B = \frac{36 \times 2}{9\pi} = \frac{72}{9\pi} = \frac{8}{\pi}
\]

したがって、容器Bの高さは

\[
h_B = \frac{8}{\pi}
\]

です。

### 最終的な答え
容器Bの高さは \( \frac{8}{\pi} \) です。

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質問があればどうぞ！また、理解を深めるために関連した5つの問題を紹介します。

1. 直方体の体積の一般的な求め方は？
2. 円柱の体積の求め方はどのように計算される？
3. 正方形の対角線の長さはどう求めるか？
4. 水の体積に関する比例問題を解く方法は？
5. 円柱の高さを体積と半径から計算する方法は？

**Tip:** 円柱の体積は底面積と高さをかけて求められますが、底面積は円の面積を使って求めることがポイントです。

一辺の長さが6の正方形を底面とし、高さが4の直方体の容器Aと、容器Aの底面の対角線の長さの半分を円の直径とする円柱の容器Bがある。容器A、Bの厚みは考えない。図のように、容器Aの中に容器Bを置く。容器Bに水を静かに注ぎ、容器Bから水を溢れさせる。その後も容器Bに水を注ぎ続ける。溢れた水は全て容器Aに入る。容器Aがいっぱいになったとき、水を注ぐのをやめる。容器A、Bに入っている水の体積の和は、容器Aの直方体としての体積のちょうど5/4倍となる。このとき、容器Bの高さを求めなさい。

Solve a problem involving a rectangular prism with a square base and a cylinder placed inside it. Learn how to calculate the height of the cylinder when water overflows into the prism, based on volume ratios. This problem covers geometric concepts such as the volume of prisms and cylinders and applies the Pythagorean theorem to find dimensions.

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