Para encontrar los números críticos de la función $f(x) = x^{2/3}(1 - x)^{1/3}$, necesitamos identificar los valores de $x$ en los cuales la derivada de $f(x)$ es cero o no está definida.

1. Derivación de $f(x)$:

   La función es producto de dos términos: $u(x) = x^{2/3}$ y $v(x) = (1 - x)^{1/3}$. Usaremos la regla del producto para derivarla:

   $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

   Calculando las derivadas individuales:

   • Para $u(x) = x^{2/3}$: $u'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}$

   • Para $v(x) = (1 - x)^{1/3}$: $v'(x) = \frac{1}{3}(1 - x)^{-2/3}(-1) = -\frac{1}{3}(1 - x)^{-2/3}$

   Sustituyendo en la fórmula de la derivada:

   $f'(x) = \frac{2}{3x^{1/3}}(1 - x)^{1/3} - x^{2/3}\frac{1}{3(1 - x)^{2/3}}$

   Simplificando y encontrando un común denominador, obtenemos la forma final de $f'(x)$.

2. Puntos críticos:

   Los números críticos de la función ocurren cuando $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no está definida.

   • $f'(x)$ no está definida en $x = 0$ (porque $u'(x)$ se vuelve infinita) y en $x = 1$ (porque $v'(x)$ se vuelve infinita).
   • Para $f'(x) = 0$, resolvemos la ecuación resultante en términos de $x$, que puede dar otro valor en el intervalo de $(0, 1)$.

3. Conclusión:

   Hay números críticos en $x = 0$, $x = 1$, y posiblemente en algún valor adicional de $x$ dentro del intervalo abierto $(0, 1)$. Por lo tanto, la función tiene al menos dos números críticos y podría tener un tercero.

¿Te gustaría ver los detalles del cálculo o tienes alguna pregunta sobre los pasos?

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Tip

Para derivar funciones con raíces o fracciones, reescribirlas en forma de potencias facilita los cálculos.