https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1725929386212v1ekddlx.jpg

hallar los siguientes problemas: Los números críticos, intervalos de monotonía, los extremos locales, los números críticos de segundo orden, intervalos de concavidad, puntos de inflexión. hacer gráfica

La gráfica muestra la función \( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 12 \), destacando los **extremos locales** en \( x = -1 \) (máximo local) y \( x = 3 \) (mínimo local), además del **punto de inflexión** en \( x = 1 \), donde la concavidad cambia.

Resumiendo los resultados:
1. **Números críticos**: \( x = -1 \) y \( x = 3 \).
2. **Intervalos de monotonía**:
   - Creciente en \( (-\infty, -1) \) y \( (3, \infty) \).
   - Decreciente en \( (-1, 3) \).
3. **Extremos locales**: Máximo local en \( x = -1 \) y mínimo local en \( x = 3 \).
4. **Números críticos de segundo orden**: \( x = 1 \).
5. **Intervalos de concavidad**:
   - Cóncava hacia abajo en \( (-\infty, 1) \).
   - Cóncava hacia arriba en \( (1, \infty) \).
6. **Punto de inflexión**: \( x = 1 \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre estos pasos?

### Preguntas adicionales:
1. ¿Cómo se determina si un punto crítico es un máximo o mínimo local?
2. ¿Qué significa que una función sea cóncava hacia arriba o hacia abajo?
3. ¿Qué sucede con la gráfica en los puntos de inflexión?
4. ¿Cómo afectan los intervalos de monotonía a la forma de la gráfica?
5. ¿Qué pasa cuando una derivada no tiene soluciones reales?

### Tip:
Al analizar concavidad, el cambio de signo en la segunda derivada indica un punto de inflexión, donde la gráfica cambia su curvatura.

Hallar los siguientes problemas: Los números críticos, intervalos de monotonía, los extremos locales, los números críticos de segundo orden, intervalos de concavidad, puntos de inflexión. Hacer gráfica

Analyze the critical points, local extrema, concavity, and inflection points for the function f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 12. This problem covers the use of first and second derivatives in calculus to determine key features of the graph.

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