Để giải bài toán này, ta cần xét các yếu tố sau:

1. Số ngày làm việc: Có 7 ngày liên tiếp.
2. Hai tổ làm việc: Tổ I phụ trách trồng cây lim và lộc vừng, tổ II phụ trách trồng cây bằng lăng và xà cừ.
3. Điều kiện: Mỗi ngày chỉ trồng một loại cây, chỉ một tổ làm việc, và không có tổ nào làm việc 3 ngày liên tiếp.

Bước 1: Xét số tổ làm việc từng ngày

Gọi $A = 1$ nếu tổ I làm việc vào ngày đó, và $B = 2$ nếu tổ II làm việc vào ngày đó. Chuỗi làm việc của các tổ trong 7 ngày là một dãy bao gồm các ký hiệu $A$ và $B$ sao cho không có quá 2 ký hiệu $A$ hoặc $B$ liên tiếp.

Ví dụ: Dãy hợp lệ có thể là $AABBAAB$, nhưng $AAABBBB$ không hợp lệ vì tổ I làm việc 3 ngày liên tiếp.

Bước 2: Tính số cách sắp xếp tổ làm việc

Ta cần tính số chuỗi gồm $A$ và $B$ thỏa mãn điều kiện không có quá 2 chữ $A$ hoặc $B$ liên tiếp.

Gọi $f(n)$ là số cách sắp xếp dãy ngày cho $n$ ngày mà không có 3 ngày liên tiếp do một tổ đảm nhận. Ta có thể lập công thức truy hồi:

$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$

Với:

• $f(1) = 2$ (1 ngày có thể là $A$ hoặc $B$)
• $f(2) = 4$ (2 ngày có thể là $AA, AB, BA, BB$)

Vậy:

• $f(3) = f(2) + f(1) = 4 + 2 = 6$
• $f(4) = f(3) + f(2) = 6 + 4 = 10$
• $f(5) = f(4) + f(3) = 10 + 6 = 16$
• $f(6) = f(5) + f(4) = 16 + 10 = 26$
• $f(7) = f(6) + f(5) = 26 + 16 = 42$

Vậy số chuỗi hợp lệ $A$ và $B$ là $f(7) = 42$.

Bước 3: Phân công trồng cây cho từng tổ

Mỗi tổ có thể trồng 2 loại cây, vậy tổ I có 2 cách chọn cây (lim hoặc lộc vừng) và tổ II cũng có 2 cách chọn cây (bằng lăng hoặc xà cừ) cho mỗi chuỗi ngày.

Số cách phân chia là: $Số\ cách\ tổng\ = 42 \times 2^7 = 42 \times 128 = 5376$

Kết luận

Vậy có 5376 cách phân chia các ngày để hai tổ trồng cây, thỏa mãn tất cả các điều kiện.

---

Bạn có muốn xem chi tiết hơn về các bước hay có câu hỏi gì không? Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

1. Bạn muốn biết thêm về cách thiết lập công thức truy hồi $f(n)$ không?
2. Bạn có cần giải thích thêm về lý do tại sao $f(n) = f(n-1) + f(n-2)$?
3. Bạn có muốn biết thêm về các phương pháp khác để đếm số chuỗi hợp lệ?
4. Bạn cần hướng dẫn thêm về cách lập luận khi giải quyết các bài toán đếm tổ hợp tương tự không?
5. Bạn có muốn biết cách áp dụng công thức này cho các bài toán khác với các điều kiện phức tạp hơn không?

Mẹo: Khi giải quyết bài toán đếm số chuỗi, việc tìm hiểu kỹ các điều kiện và áp dụng công thức truy hồi thường rất hiệu quả để tránh phải liệt kê tất cả các khả năng.