Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định số lượng hàm số $f : \{1, 2, \dots, n\} \rightarrow \{1, 2, 3, 4, 5\}$ sao cho với mọi $k = 1, 2, \dots, n - 1$, ta có $|f(k+1) - f(k)| \geq 3$.

Phân tích bài toán:

• Tập đích của hàm $f$ là tập $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.
• Điều kiện ràng buộc là $|f(k+1) - f(k)| \geq 3$, nghĩa là hiệu giữa giá trị của hàm tại hai điểm liên tiếp phải có độ lớn ít nhất là 3.

Xác định các cặp giá trị hợp lệ cho $f(k)$ và $f(k+1)$:

• Nếu $f(k) = 1$, thì $f(k+1) \in \{4, 5\}$ (vì chỉ có $|1 - 4| = 3$ và $|1 - 5| = 4$).
• Nếu $f(k) = 2$, thì $f(k+1) = 5$ (vì chỉ có $|2 - 5| = 3$).
• Nếu $f(k) = 3$, thì không có giá trị nào của $f(k+1)$ thỏa mãn điều kiện $|f(k+1) - f(k)| \geq 3$.
• Nếu $f(k) = 4$, thì $f(k+1) = 1$ (vì chỉ có $|4 - 1| = 3$).
• Nếu $f(k) = 5$, thì $f(k+1) \in \{1, 2\}$ (vì $|5 - 1| = 4$ và $|5 - 2| = 3$).

Cấu trúc của các hàm số hợp lệ:

• Hàm số không thể lấy giá trị $3$ vì không có giá trị nào thỏa mãn điều kiện với $f(k+1)$ nếu $f(k) = 3$.
• Các giá trị của hàm số phải là từ tập $\{1, 2, 4, 5\}$, và mỗi giá trị của $f(k+1)$ phụ thuộc vào giá trị của $f(k)$.

Tính toán số lượng hàm số:

Với $n \geq 2$, ta có thể mô hình hóa bài toán này thành bài toán đếm số đường đi trên đồ thị, trong đó mỗi đỉnh đại diện cho một giá trị của hàm $f(k)$, và các cạnh nối các giá trị hợp lệ của $f(k)$ và $f(k+1)$.

Tuy nhiên, để có cách tính chi tiết hơn, ta cần thêm các bước phân tích tổ hợp. Bạn có muốn tôi giải thích cách xây dựng bài toán dưới dạng đồ thị và cách tính chi tiết số lượng hàm không?

---

5 câu hỏi liên quan:

1. Cách lập đồ thị từ bài toán này như thế nào?
2. Có thể mở rộng bài toán này cho tập đích lớn hơn không?
3. Điều kiện $|f(k+1) - f(k)| \geq 3$ ảnh hưởng thế nào đến tập giá trị của hàm số?
4. Nếu thay đổi khoảng cách thành $|f(k+1) - f(k)| \geq 2$, bài toán sẽ thay đổi ra sao?
5. Có những loại bài toán tương tự nào sử dụng phương pháp đếm số đường đi trên đồ thị?

Mẹo:

Khi gặp các bài toán đếm liên quan đến hàm số hoặc chuỗi, bạn có thể thử biểu diễn chúng dưới dạng đồ thị để dễ dàng tính toán số lượng khả năng hợp lệ.