Để giải quyết bài toán, ta cần đếm số tập con khác rỗng của tập $\{1, 2, \ldots, 201\}$ sao cho tổng các phần tử của mỗi tập con đều chia hết cho 3.

Bước 1: Xác định số phần tử của tập

Tập $\{1, 2, \ldots, 201\}$ có $201$ phần tử.

Bước 2: Xác định tính chất chia hết cho 3 của từng phần tử

Mỗi phần tử trong tập này có thể được chia thành 3 loại theo phần dư khi chia cho 3:

• $a_i \equiv 0 \mod 3$
• $a_i \equiv 1 \mod 3$
• $a_i \equiv 2 \mod 3$

Bước 3: Sử dụng hàm sinh

Ta sử dụng hàm sinh để giải quyết vấn đề. Hàm sinh cho từng phần tử $x_i$ trong tập $\{1, 2, \ldots, 201\}$ là:

$f(x) = \prod_{i=1}^{201} (1 + x^{a_i})$

Để tính tổng các phần tử chia hết cho 3, ta cần xem xét các hệ số của $x^k$ trong khai triển của hàm sinh khi $k$ chia hết cho 3.

Bước 4: Đếm số tập con thỏa mãn điều kiện

Ta sẽ chia tổng số tập con thành 3 nhóm, tương ứng với phần dư 0, 1, 2 khi chia cho 3. Tổng số tập con thỏa mãn điều kiện là:

$\frac{(2^n + 2)}{3}$

Ở đây, $n$ là số phần tử của tập ban đầu, tức là $n = 201$. Tổng số tập con khác rỗng là $2^{201} - 1$. Ta cần chia thành 3 phần bằng nhau, do đó, số tập con thỏa mãn là:

$\text{Số tập con thỏa mãn} = \frac{2^{201} - 1 + 2}{3} = \frac{2^{201} + 1}{3}$

Kết quả

Số tập con khác rỗng thỏa mãn điều kiện là $\frac{2^{201} + 1}{3}$.

Nếu bạn cần chi tiết hơn hoặc có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thêm nhé!

---

Câu hỏi liên quan:

1. Làm thế nào để tìm tổng các số hạng của một dãy số mà tổng chia hết cho 4?
2. Cách tính số lượng tập con mà tổng các phần tử là một số nguyên tố?
3. Tại sao số tập con của một tập hợp có n phần tử là $2^n$?
4. Cách ứng dụng hàm sinh trong các bài toán tổ hợp khác?
5. Nếu tập hợp có thêm một phần tử, công thức tính số tập con chia hết cho 3 có thay đổi không?

Mẹo: Khi đối mặt với bài toán tổ hợp, hãy thử chia bài toán thành các phần nhỏ hơn và xem xét tính chất đối xứng hoặc phân chia.