Para resolver el problema 4, que involucra la imagen de la escalera apoyada en el muro, sigamos los pasos que describen la situación en base a la figura:

Datos del problema:

• Se tiene una escalera apoyada contra un muro, formando un triángulo rectángulo.
• La altura de la escalera sobre el muro es de 12 metros.
• La distancia desde la base del muro hasta el pie de la escalera (el otro cateto del triángulo) es de 5 metros.

El problema te pide calcular el coseno del ángulo $\theta$ que se forma entre el suelo y la escalera.

1. Definición del coseno en un triángulo rectángulo:

El coseno de un ángulo en un triángulo rectángulo se define como:

$\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}$

En este caso:

• El cateto adyacente al ángulo $\theta$ es la distancia entre el muro y el pie de la escalera, es decir, 5 metros.
• La hipotenusa es la longitud de la escalera. Podemos calcularla usando el Teorema de Pitágoras.

2. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

Sabemos que:

$\text{hipotenusa}^2 = \text{cateto adyacente}^2 + \text{cateto opuesto}^2$

Sustituyendo los valores:

$\text{hipotenusa}^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

Por lo tanto, la hipotenusa es:

$\text{hipotenusa} = \sqrt{169} = 13 \text{ metros}.$

3. Calculamos el coseno:

Ahora podemos calcular el coseno del ángulo $\theta$:

$\cos(\theta) = \frac{5}{13}$

Este es el valor exacto del coseno del ángulo $\theta$.

Respuesta:

El coseno del ángulo que forma la escalera con el suelo es $\cos(\theta) = \frac{5}{13}$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcularía el seno del mismo ángulo?
2. ¿Cómo podemos hallar el ángulo $\theta$ usando una calculadora científica?
3. ¿Qué representa el valor del coseno en términos de la inclinación de la escalera?
4. ¿Cómo usaríamos la tangente para resolver un problema similar?
5. ¿Qué diferencia habría si se aumentara la longitud de la escalera manteniendo los otros valores constantes?

Tip: Recuerda que las funciones trigonométricas son herramientas poderosas para resolver problemas que involucran ángulos y distancias en triángulos rectángulos.