Για την άσκηση αυτή, ας εξετάσουμε κάθε πρόταση ξεχωριστά για να αποφανθούμε αν είναι σωστή ή λανθασμένη:

1. (i) Αν $\vec{a} = (x, y)$, τότε $|\vec{a}| = x^2 + y^2$:

   Η πρόταση αυτή είναι λανθασμένη. Το μέτρο του διανύσματος $\vec{a} = (x, y)$ δίνεται από τον τύπο: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ Άρα, η σωστή μορφή θα ήταν $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

2. (ii) Αν $\vec{a} \parallel \vec{β}$, τότε $\det (\vec{a}, \vec{β}) = 0$:

   Η πρόταση αυτή είναι σωστή. Όταν δύο διανύσματα είναι παράλληλα, ο ορίζοντας των διανυσμάτων τους είναι μηδέν.

3. (iii) Για τη γωνία $\Phi$ που σχηματίζει ένα διάνυσμα $\vec{a}$ με τον άξονα $x'x$ ισχύει $0^\circ \leq \varphi < 360^\circ$:

   Η πρόταση είναι σωστή. Η γωνία που σχηματίζει ένα διάνυσμα με έναν άξονα κυμαίνεται από $0^\circ$ έως $360^\circ$.

4. (iv) Αν $A = (x_1, y_1)$ και $B = (x_2, y_2)$, τότε $\overrightarrow{AB} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$:

   Η πρόταση αυτή είναι λανθασμένη. Το διάνυσμα $\overrightarrow{AB}$ δίνεται από: $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

5. (v) Αν $|\vec{a}| = \frac{4}{3}$ τότε $\vec{a} = (4, 3)$:

   Η πρόταση αυτή είναι λανθασμένη. Το μέτρο του διανύσματος $(4, 3)$ είναι: $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ Άρα, αν το μέτρο είναι $\frac{4}{3}$, το διάνυσμα δεν μπορεί να είναι $(4, 3)$.

6. (vi) Αν $A(2,1)$ και $B(10,7)$ τότε $\overrightarrow{AB} = 8i + 6j$:

   Η πρόταση είναι σωστή. Έχουμε: $\overrightarrow{AB} = (10 - 2)i + (7 - 1)j = 8i + 6j$

Σύνοψη:

• (i) Λάθος
• (ii) Σωστό
• (iii) Σωστό
• (iv) Λάθος
• (v) Λάθος
• (vi) Σωστό

Χρειάζεστε κάποια επιπλέον διευκρίνιση;

Σχετικές ερωτήσεις:

1. Ποιος είναι ο τύπος για τον ορισμό του μέτρου ενός διανύσματος στο επίπεδο;
2. Πώς υπολογίζουμε τον ορίζοντα δύο διανυσμάτων και τι σημαίνει όταν είναι μηδέν;
3. Ποια η διαφορά μεταξύ παράλληλων και κάθετων διανυσμάτων;
4. Πώς υπολογίζεται το διάνυσμα μεταξύ δύο σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο;
5. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ μέτρου και κατεύθυνσης σε ένα διάνυσμα;

Συμβουλή: Πάντα να επιβεβαιώνετε τον τύπο του μέτρου ενός διανύσματος, ειδικά όταν εμπλέκεται σε γεωμετρικούς υπολογισμούς.