Для того чтобы векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, и $\vec{c}$ были компланарными, необходимо, чтобы их смешанное произведение было равно нулю. Математически это можно выразить следующим образом:

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$

Для того чтобы векторы не были коллинеарными, это произведение должно быть равно нулю при этом не все векторы должны быть пропорциональны друг другу.

Исходя из условий задачи:

• $\vec{a} = h \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,
• $\vec{b} = \hat{i} + h \hat{j} + \hat{k}$,
• $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + h \hat{k}$.

Найдем сначала векторное произведение $\vec{b} \times \vec{c}$. Оно будет:

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & h & 1 \\ 1 & 1 & h \end{vmatrix}$$ Вычислим детерминант: $$\vec{b} \times \vec{c} = \hat{i} \begin{vmatrix} h & 1 \\ 1 & h \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & h \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 1 & h \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Теперь вычислим детерминанты: $$\begin{vmatrix} h & 1 \\ 1 & h \end{vmatrix} = h^2 - 1,$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & h \end{vmatrix} = h - 1,$$ $$\begin{vmatrix} 1 & h \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - h.$$ Таким образом, векторное произведение: $$\vec{b} \times \vec{c} = (h^2 - 1) \hat{i} - (h - 1) \hat{j} + (1 - h) \hat{k}.$$ Теперь вычислим смешанное произведение $$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$$: $$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (h \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \left( (h^2 - 1) \hat{i} - (h - 1) \hat{j} + (1 - h) \hat{k} \right).$$ Используем свойства скалярного произведения: $$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = h(h^2 - 1) + 1(-(h - 1)) + 1(1 - h).$$ Решим это: $$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = h(h^2 - 1) - (h - 1) + (1 - h)$$ $$= h^3 - h - h + 1 + 1 - h$$ $$= h^3 - 3h + 2.$$ Для компланарности векторов, это выражение должно быть равно нулю: $$h^3 - 3h + 2 = 0.$$ Решим это кубическое уравнение: $$h^3 - 3h + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (h - 1)(h^2 + h - 2) = 0.$$ Решим далее: $$h - 1 = 0 \quad \text{или} \quad h^2 + h - 2 = 0.$$ Первое уравнение дает $$h = 1$$. Решим второе: $$h^2 + h - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.$$ Таким образом, $$h = 1$$ или $$h = -2$$. Теперь, чтобы векторы не были коллинеарными, нужно, чтобы хотя бы один из этих корней не был действительным решением. $$h = 1$$ приводит к коллинеарности, поэтому остаётся $$h = -2$$. Таким образом, векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, и $$\vec{c}$$ будут компланарными, но не коллинеарными при $$h = -2$$. Если вам нужно больше объяснений, или есть другие вопросы, не стесняйтесь спрашивать! Вот несколько дополнительных вопросов для дальнейшего изучения: 1. Как вычисляется векторное произведение двух векторов в пространстве? 2. Что такое смешанное произведение трех векторов и как оно связано с компланарностью? 3. Какие условия необходимы для того, чтобы векторы были коллинеарными? 4. Как можно графически представить компланарность векторов? 5. Какие методы можно использовать для решения кубических уравнений? И небольшой совет: всегда проверяйте, что векторное произведение вычислено правильно, так как ошибки в расчетах могут сильно повлиять на результат!