Для нахождения координат вершины $A$ параллелограмма ABCD, можно использовать свойство, что диагонали параллелограмма пересекаются в их середине. То есть, середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

1. Сначала находим середину диагонали $BD$. Координаты точки $B (3;7)$ и $D (-5;3)$.

Середина отрезка $BD$ рассчитывается по формуле: $M_{BD} = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right)$ Подставляем координаты: $M_{BD} = \left( \frac{3 + (-5)}{2}, \frac{7 + 3}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{10}{2} \right) = (-1, 5)$

2. Теперь, зная, что середина диагонали $AC$ совпадает с точкой $M_{BD} = (-1, 5)$, найдем координаты точки $A$. Координаты точки $C (-2; 4)$.

Середина отрезка $AC$ рассчитывается по аналогичной формуле: $M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right)$ Мы знаем, что $M_{AC} = (-1, 5)$, и подставляем координаты $C (-2; 4)$: $(-1, 5) = \left( \frac{x_A - 2}{2}, \frac{y_A + 4}{2} \right)$

Теперь решим систему уравнений для $x_A$ и $y_A$: $\frac{x_A - 2}{2} = -1 \quad \text{и} \quad \frac{y_A + 4}{2} = 5$

Решим первое уравнение для $x_A$: $\frac{x_A - 2}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad x_A - 2 = -2 \quad \Rightarrow \quad x_A = 0$

Решим второе уравнение для $y_A$: $\frac{y_A + 4}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad y_A + 4 = 10 \quad \Rightarrow \quad y_A = 6$

Таким образом, координаты вершины $A$ параллелограмма — $A(0; 6)$.

Если у вас есть вопросы или хотите узнать подробности, дайте знать!

5 вопросов для расширения:

1. Что такое параллелограмм и его основные свойства?
2. Как связаны диагонали параллелограмма с его вершинами?
3. Какие еще способы существуют для нахождения координат вершины параллелограмма?
4. Как найти координаты середины отрезка в трехмерной системе координат?
5. Как использовать свойства параллелограмма для решения задач на векторы?

Совет: Запомните, что свойства параллелограмма можно использовать для упрощения многих задач, особенно когда требуется вычислить координаты его вершин.