Math Problem Statement

Jadi, persamaan setelah rotasi adalah:

\text{(1)} \quad x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y)

\text{(2)} \quad y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y) ]

Solution

Persamaan yang diberikan adalah hasil dari rotasi suatu sistem koordinat sebesar sudut tertentu, yang tampaknya adalah rotasi 45∘45^\circ, mengingat bahwa faktor 22\frac{\sqrt{2}}{2} berkaitan dengan sinus dan kosinus dari sudut 45∘45^\circ.

Secara umum, rotasi sistem koordinat dalam bidang dua dimensi (2D) dengan sudut θ\theta diberikan oleh transformasi:

x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ Untuk rotasi $$45^\circ$$, $$\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$, sehingga persamaan rotasinya menjadi: $$x' = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y)$$ $$y' = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y)$$ Ini adalah bentuk rotasi koordinat yang diberikan. ### Penjelasan singkat: - Persamaan (1) dan (2) menunjukkan transformasi titik dari sistem koordinat $$(x, y)$$ ke sistem koordinat $$(x', y')$$ setelah rotasi sebesar $$45^\circ$$. - Komponen-komponen $$x$$ dan $$y$$ bertransformasi menurut sinus dan kosinus sudut rotasi. Apakah Anda memerlukan penjelasan lebih lanjut mengenai rotasi atau penerapan transformasi ini? ### Pertanyaan terkait: 1. Bagaimana cara menentukan matriks rotasi untuk sudut selain $$45^\circ$$? 2. Apa yang terjadi pada panjang vektor setelah dilakukan rotasi? 3. Bagaimana penerapan rotasi ini dalam bidang tiga dimensi (3D)? 4. Dapatkah transformasi ini digunakan untuk kasus refleksi (pantulan)? 5. Bagaimana efek rotasi ini pada bentuk geometri seperti lingkaran atau elips? ### Tip: Dalam rotasi, meskipun posisi koordinat berubah, jarak dari titik ke asal (misalnya panjang vektor) tetap sama.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Coordinate Geometry
2D Rotation
Trigonometry

Formulas

Rotation matrix formula: \begin{pmatrix}x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}
For 45° rotation: \cos 45° = \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}

Theorems

2D Rotation Theorem
Trigonometric Functions for Special Angles

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Understanding the Rules of Rotation in Coordinate Geometry

Determine Coordinates After 90° Rotation on a Coordinate Plane

Apply 90° Clockwise Rotation Formula to Point P at (0,0)

Coordinate Geometry Problem: Rotation and Distance Between Points

Coordinate Geometry: Find the Original Coordinates of Square ABCD after Rotation