Réponse :

Analysons chaque proposition une par une pour déterminer si elle est vraie ou fausse :

A. $f(x) = \ln(\ln(x))$ est convexe sur $]1, +\infty[$

Pour savoir si une fonction est convexe, nous devons vérifier que sa dérivée seconde est positive ou nulle sur l'intervalle considéré.
Calculons les dérivées de $f(x) = \ln(\ln(x))$.

1. La première dérivée : $f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\ln(\ln(x))\right) = \frac{1}{\ln(x)} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln(x)}$

2. La deuxième dérivée : $f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x \ln(x)}\right)$ Cela donne : $f''(x) = -\frac{1}{x^2 \ln(x)} + \frac{1}{x^2 (\ln(x))^2}$ Pour déterminer si cette dérivée est positive, nous devons analyser le signe de cette expression. Elle peut être positive pour certaines valeurs de $x$ mais ne l'est pas toujours.

En fait, $f(x)$ n'est pas toujours convexe sur $]1, +\infty[$ car la dérivée seconde peut être négative pour certaines valeurs de $x$.
Donc, la proposition A est fausse.

B. $g(x) = 1 + e^x$ est convexe sur $[0, +\infty[$

Calculons la dérivée seconde de $g(x) = 1 + e^x$.

1. La première dérivée : $g'(x) = e^x$

2. La deuxième dérivée : $g''(x) = e^x$ Comme $e^x > 0$ pour tous $x \in \mathbb{R}$, la dérivée seconde est positive sur $[0, +\infty[$.

Donc, $g(x)$ est une fonction convexe sur cet intervalle.
Donc, la proposition B est vraie.

C. $h(x) = |x|$ est convexe sur $\mathbb{R}$

Calculons la dérivée seconde de $h(x) = |x|$.

1. La première dérivée : 1 & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \\ \text{indéfini} & \text{si } x = 0 \end{cases}$$
2. La deuxième dérivée : La dérivée seconde n'existe pas en $x = 0$ car $h'(x)$ n'est pas continue à ce point. Cependant, pour $x > 0$ et $x < 0$, la dérivée seconde est nulle.

Une fonction est convexe si sa dérivée seconde est positive ou nulle (ou si elle n'est pas définie dans un point isolé mais est croissante). Dans ce cas, la fonction est convexe sur $\mathbb{R}$ car sa dérivée est monotone croissante et continue, même si elle n'est pas définie en 0.

Donc, la proposition C est vraie.

Conclusion :

• A. Fausse
• B. Vraie
• C. Vraie

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Souhaitez-vous plus de détails sur l'une des propositions ?

Voici quelques questions connexes pour approfondir :

1. Quelle est la différence entre convexité et concavité ?
2. Comment peut-on déterminer la convexité d’une fonction avec la dérivée seconde ?
3. Peut-on avoir une fonction convexe sur un intervalle et concave sur un autre ?
4. Comment la convexité affecte-t-elle les propriétés d'optimisation d'une fonction ?
5. Quelles autres fonctions usuelles sont convexes sur des intervalles spécifiques ?

Astuce : Quand vous cherchez la convexité d’une fonction, n'oubliez pas de vérifier aussi sa continuité et son domaine de définition.