Para convertir el número $512_6$ a base 4, primero debemos convertirlo a base 10 (decimal) y luego a base 4.

Paso 1: Convertir $512_6$ a base 10

El número $512_6$ se puede expandir como:

$512_6 = 5 \times 6^2 + 1 \times 6^1 + 2 \times 6^0$

Calculando cada término:

$5 \times 6^2 = 5 \times 36 = 180$ $1 \times 6^1 = 1 \times 6 = 6$ $2 \times 6^0 = 2 \times 1 = 2$

Sumamos estos valores:

$180 + 6 + 2 = 188$

Por lo tanto, $512_6 = 188_{10}$.

Paso 2: Convertir $188_{10}$ a base 4

Ahora, dividimos el número 188 por 4 repetidamente, y registramos los restos:

1. $188 \div 4 = 47$ con un resto de $0$
2. $47 \div 4 = 11$ con un resto de $3$
3. $11 \div 4 = 2$ con un resto de $3$
4. $2 \div 4 = 0$ con un resto de $2$

Los restos se leen de abajo hacia arriba, lo que nos da $2330_4$.

Por lo tanto, $512_6$ convertido a base 4 es $2330_4$.

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Tip: Al convertir números entre bases, es útil familiarizarse con las potencias de cada base para realizar los cálculos más rápidamente.