Um zu zeigen, dass die Folge der Mittelwerte $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert, wenn die Folge $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert, gehen wir folgendermaßen vor:

Gegeben

1. Die Folge der Mittelwerte $a_n$ ist definiert als: $a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k$
2. Die Folge $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert, d.h., es existiert ein Grenzwert $L \in \mathbb{R}$, sodass $\lim_{n \to \infty} x_n = L.$

Ziel

Zeigen, dass die Mittelwerte $a_n$ ebenfalls gegen $L$ konvergieren, d.h., $\lim_{n \to \infty} a_n = L.$

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Beweis

1. Definition der Mittelwerte umgeschrieben:
   Schreiben wir die Summe $a_n$ in einer erweiterten Form: $a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k.$

2. Konvergenzannahme nutzen:
   Weil $x_n \to L$, gilt für jedes $\varepsilon > 0$, dass es ein $N \in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle $n \geq N$: $|x_n - L| < \varepsilon.$

3. Aufteilen der Summe:
   Teilen wir die Summe in zwei Bereiche auf: $a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^m x_k + \sum_{k=m+1}^n x_k \right),$ wobei $m$ groß genug gewählt wird, sodass für $k > m$: $|x_k - L| < \varepsilon.$

4. Abschätzung des Unterschieds:
   Die Mittelwerte $a_n$ lassen sich wie folgt schreiben: $a_n = \frac{1}{n} \left( \sum_{k=1}^n L + \sum_{k=1}^n (x_k - L) \right).$ Daraus folgt: $|a_n - L| = \left| \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k - L) \right|.$

5. Grenzwertbetrachtung der Abweichung:
   Der Term $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (x_k - L)$ wird durch die Eigenschaft $|x_k - L| < \varepsilon$ beliebig klein. Für große $n$ dominieren die Terme, bei denen $x_k$ nahe bei $L$ liegt, was zeigt: $\lim_{n \to \infty} |a_n - L| = 0.$

6. Schlussfolgerung:
   Damit folgt: $\lim_{n \to \infty} a_n = L.$

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Fazit

Die Folge der Mittelwerte $a_n$ konvergiert gegen denselben Grenzwert $L$, wenn die Folge $(x_n)$ konvergiert.

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Haben Sie weitere Fragen oder möchten Sie eine andere Erklärung? 😊
Hier sind 5 verwandte Fragen:

1. Wie verhält sich die Folge $a_n$, wenn $x_n$ nicht konvergiert?
2. Kann $a_n$ gegen einen anderen Wert als $L$ konvergieren, wenn $x_n \to L$?
3. Was passiert, wenn $x_n$ eine periodische Folge ist?
4. Wie wirkt sich eine divergente $x_n$-Folge auf $a_n$ aus?
5. Gibt es eine schnellere Methode, die Konvergenz von $a_n$ zu analysieren?

Tipp: Mittelwerte können auch als "Glättungsmechanismus" verwendet werden, um unregelmäßige Schwankungen einer Folge zu analysieren!