La sucesión abrir llaves ln abrir paréntesis 38 por n más 24 cerrar paréntesis menos ln abrir paréntesis 30 por n más 28 cerrar paréntesis cerrar llaves elevado a infinito subíndice n igual 1 fin subíndice converge a

La sucesión dada es:

\[
\left\{ \ln(38n + 24) - \ln(30n + 28) \right\}_{n=1}^{\infty}
\]

Para determinar si esta sucesión converge y, de ser así, hacia qué valor, veamos cómo se comporta el término general cuando \( n \to \infty \).

### Paso 1: Simplificar el término general

Observamos que el término general es una diferencia de logaritmos, que podemos simplificar usando las propiedades de los logaritmos:

\[
\ln(38n + 24) - \ln(30n + 28) = \ln \left( \frac{38n + 24}{30n + 28} \right)
\]

### Paso 2: Evaluar el límite cuando \( n \to \infty \)

Ahora, calculemos el límite del término general cuando \( n \to \infty \):

\[
\lim_{n \to \infty} \ln \left( \frac{38n + 24}{30n + 28} \right)
\]

Dividimos el numerador y el denominador dentro del logaritmo por \( n \):

\[
= \lim_{n \to \infty} \ln \left( \frac{38 + \frac{24}{n}}{30 + \frac{28}{n}} \right)
\]

Cuando \( n \to \infty \), los términos \(\frac{24}{n}\) y \(\frac{28}{n}\) tienden a cero, por lo que el límite se simplifica a:

\[
= \ln \left( \frac{38}{30} \right)
\]

### Paso 3: Resultado final

Dado que \(\frac{38}{30} = \frac{19}{15}\), el límite es:

\[
\ln \left( \frac{19}{15} \right)
\]

### Conclusión

La sucesión converge a:

\[
\ln \left( \frac{19}{15} \right)
\]

¿Te gustaría que explique algún paso con más detalle o tienes alguna pregunta adicional?

---

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se comporta una sucesión de logaritmos en general?
2. ¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos que se pueden aplicar en límites?
3. ¿Cómo afecta el crecimiento de \( n \) en sucesiones de términos racionales?
4. ¿Qué condiciones garantizan la convergencia de una sucesión?
5. ¿Cómo se interpreta el límite de una diferencia de logaritmos?

**Tip:** Para resolver límites con logaritmos, intenta simplificar usando propiedades como la diferencia de logaritmos para crear cocientes. Esto frecuentemente facilita el cálculo del límite.

Explore the convergence of the sequence \( \{ \ln(38n + 24) - \ln(30n + 28) \}_{n=1}^{\infty} \) and learn how to determine its limit as \( n \to \infty \). This solution involves logarithmic properties and limit evaluation techniques, ideal for college-level calculus students.

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