Для анализа сходимости выражения (2n²) / (n + 1) при $n \to \infty$, рассмотрим предел:

$\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2}{n+1}$

Шаги решения:

1. Упрощение выражения: Чтобы упростить, выделим старшую степень в числителе и знаменателе. Домножим и разделим на $n$, чтобы оставить коэффициенты при старших степенях:

   $\frac{2n^2}{n+1} = \frac{2n^2}{n \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)} = \frac{2n}{1 + \frac{1}{n}}$

2. Предел при $n \to \infty$: При $n \to \infty$, дробь $\frac{1}{n} \to 0$. Тогда выражение упрощается:

   $\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{1 + \frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{1} = \infty$

3. Вывод: Предел выражения (2n²) / (n + 1) при $n \to \infty$ равен бесконечности, следовательно, последовательность расходится.

---

Итог:

Выражение (2n²) / (n + 1) расходится при $n \to \infty$.

---

Хотите более подробное объяснение?

5 Вопросов для расширения темы:

1. Как рассмотреть поведение других степенных выражений вида $\frac{an^m}{bn^k + c}$?
2. Что произойдет, если знаменатель увеличится до $n^2 + 1$? Сойдётся ли тогда?
3. Как доказать сходимость или расходимость других последовательностей через свойства рядов?
4. Можно ли использовать правило Лопиталя для нахождения предела в данной задаче?
5. Как связана сходимость последовательности с суммой ряда?

Совет:

Для анализа степенных функций при $n \to \infty$, сравнивайте старшие степени числителя и знаменателя — это наиболее быстрый способ определить поведение последовательности.