Contraposée en Logique: Exemples avec Implications et Divisibilité

Math Problem Statement

Quelle est la contraposée de: Si je suis à l'heure pour aller travailler alors j'attrape l'autobus de 8:05. A. je suis à l'heure pour aller travailler et je manque l'autobus de 8:05. B. Si je suis en retard pour aller travailler alors je manque l'autobus de 8:05. C. Si je manque l'autobus de 8:05 alors je suis en retard pour aller travailler. D. Si je suis en retard pour aller travailler alors j'attrape l'autobus de 8:05. E. Si j'attrape l'autobus de 8:05 alors je suis à l'heure pour aller travailler. F. Si je suis à l'heure pour aller travailler alors j'attrape l'autobus de 8:05. G. je suis à l'heure pour aller travailler et j'attrape l'autobus de 8:05. H. je suis à l'heure pour aller travailler ou j'attrape l'autobus de 8:05. I. je suis à l'heure pour aller travailler ou je manque l'autobus de 8:05. J. je suis en retard pour aller travailler ou j'attrape l'autobus de 8:05. K. je suis en retard pour aller travailler et je manque l'autobus de 8:05. Quelle est la contraposée de: Si j'ai faim alors je mange une pomme. A. Si j'ai faim alors je mange une pomme. B. j'ai faim et je mange une pomme. C. Si je n'ai pas faim alors je ne mange pas de pommes. D. je n'ai pas faim et je ne mange pas de pommes. E. j'ai faim et je ne mange pas de pommes. F. j'ai faim ou je mange une pomme. G. Si je ne mange pas de pommes alors je n'ai pas faim. H. je n'ai pas faim ou je mange une pomme. I. Si je n'ai pas faim alors je mange une pomme. J. j'ai faim ou je ne mange pas de pommes. K. Si je mange une pomme alors j'ai faim. Quelle est la contraposée de: Si n est divisible par 6 alors n est divisible par 2 et 3. A. n n'est pas divisible par 6 et n n'est pas divisible par 2 ou 3. B. n est divisible par 6 et n n'est pas divisible par 2 ou 3. C. n est divisible par 6 ou n n'est pas divisible par 2 ou 3. D. Si n n'est pas divisible par 6 alors n n'est pas divisible par 2 ou 3. E. Si n n'est pas divisible par 2 ou 3 alors n n'est pas divisible par 6. F. Si n est divisible par 2 et 3 alors n est divisible par 6. G. n est divisible par 6 et n est divisible par 2 et 3. H. Si n n'est pas divisible par 6 alors n est divisible par 2 et 3. I. n est divisible par 6 ou n est divisible par 2 et 3. J. Si n est divisible par 6 alors n est divisible par 2 et 3. K. n n'est pas divisible par 6 ou n est divisible par 2 et 3.

Solution

Pour répondre à ces questions, il est nécessaire de comprendre la notion de contraposée d'une proposition logique. La contraposée d'une implication "Si $P$ alors $Q$ " est "Si non- $Q$ alors non- $P$ ".

1. Contraposée de: "Si je suis à l'heure pour aller travailler alors j'attrape l'autobus de 8:05."

Formulation initiale : "Si je suis à l'heure pour aller travailler ( $P$ ) alors j'attrape l'autobus de 8:05 ( $Q$ )."

Contraposée : "Si je n'attrape pas l'autobus de 8:05 ( $\text{non-}Q$ ) alors je ne suis pas à l'heure pour aller travailler ( $\text{non-}P$ )."

La bonne réponse est donc :
C. Si je manque l'autobus de 8:05 alors je suis en retard pour aller travailler.

2. Contraposée de: "Si j'ai faim alors je mange une pomme."

Formulation initiale : "Si j'ai faim ( $P$ ) alors je mange une pomme ( $Q$ )."

Contraposée : "Si je ne mange pas de pomme ( $\text{non-}Q$ ) alors je n'ai pas faim ( $\text{non-}P$ )."

La bonne réponse est donc :
G. Si je ne mange pas de pommes alors je n'ai pas faim.

3. Contraposée de: "Si $n$ est divisible par 6 alors $n$ est divisible par 2 et 3."

Formulation initiale : "Si $n$ est divisible par 6 ( $P$ ) alors $n$ est divisible par 2 et 3 ( $Q$ )."

Contraposée : "Si $n$ n'est pas divisible par 2 ou 3 ( $\text{non-}Q$ ) alors $n$ n'est pas divisible par 6 ( $\text{non-}P$ )."

La bonne réponse est donc :
E. Si $n$ n'est pas divisible par 2 ou 3 alors $n$ n'est pas divisible par 6.

Avez-vous besoin de plus de détails sur ces réponses ? Voici cinq questions pour vous aider à approfondir ces notions :

Comment prouver qu'une contraposée est logiquement équivalente à son implication de départ ?
Pourquoi la contraposée est-elle plus utile que la réciproque dans certains raisonnements logiques ?
Peut-on trouver des exemples de situations où la contraposée est plus évidente à démontrer que l'implication directe ?
Quelle est la différence entre la contraposée et la négation d'une implication ?
Dans quel domaine des mathématiques les contraposées sont-elles souvent utilisées (logique, démonstration formelle, etc.) ?

Tip : La contraposée est toujours vraie si l'implication initiale est vraie, ce qui en fait un outil puissant en logique et en démonstration mathématique.

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Contraposée de 'Si P alors Q' est 'Si non-Q alors non-P'

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