На изображении представлен комплексный интеграл:

$\oint_{|z-1|=3} \frac{z^2 \, dz}{(z-1)(z-2)}.$

Необходимо вычислить интеграл по замкнутому контуру с использованием теоремы Коши или метода вычетов.

Шаги решения:

1. Условия и теорема: Область интегрирования — окружность радиуса 3 с центром в $z = 1$. Следовательно, $z = 1$ находится внутри контура, а $z = 2$ также внутри, так как $|2 - 1| = 1 < 3$.

2. Функция и особенности: Функция $f(z) = \frac{z^2}{(z-1)(z-2)}$ имеет простые полюса в $z = 1$ и $z = 2$. Чтобы вычислить интеграл, мы применяем метод вычетов: $\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{(все вычеты внутри контура)}.$

3. Вычесление вычетов:

   • Вычет в $z = 1$: $\text{Res}(f(z), z=1) = \lim_{z \to 1} (z-1) \frac{z^2}{(z-1)(z-2)} = \lim_{z \to 1} \frac{z^2}{z-2} = \frac{1^2}{1-2} = -1.$

   • Вычет в $z = 2$: $\text{Res}(f(z), z=2) = \lim_{z \to 2} (z-2) \frac{z^2}{(z-1)(z-2)} = \lim_{z \to 2} \frac{z^2}{z-1} = \frac{2^2}{2-1} = 4.$

4. Сумма вычетов: $\text{Сумма вычетов} = \text{Res}(f(z), z=1) + \text{Res}(f(z), z=2) = -1 + 4 = 3.$

5. Результат интеграла: $\oint_{|z-1|=3} \frac{z^2 \, dz}{(z-1)(z-2)} = 2\pi i \cdot 3 = 6\pi i.$

Ответ:

$\boxed{6\pi i}.$

Есть ли необходимость в пояснении шагов?
Дополнительные вопросы для размышления:

1. Что такое теорема Коши для вычетов и как она применяется?
2. Как определить, какие полюса находятся внутри контура?
3. Что означает положительное направление обхода контура?
4. Как вычислять вычеты для полюсов высших порядков?
5. Почему метод вычетов удобнее для замкнутых контуров?

Совет: При работе с интегралами в комплексной области важно всегда учитывать расположение особенностей относительно контура.