Для решения задания о проверке непрерывности функции $f(x) = e^{x} - 1$ в точке $x = 2$, давайте разберем условие шаг за шагом:

---

Условия непрерывности:

1. Функция должна быть определена в точке $x_0$.
2. Должен существовать предел $\lim\limits_{x \to x_0} f(x)$.
3. Предел функции в точке должен совпадать со значением функции: $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$

---

Проверим эти условия для $f(x) = e^x - 1$ в точке $x = 2$:

1. Определена ли функция в точке $x = 2$?

Функция $f(x) = e^x - 1$ является элементарной и определена для всех $x \in \mathbb{R}$, включая $x = 2$. Значение функции в точке: $f(2) = e^2 - 1.$

2. Существует ли предел $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$?

Поскольку $f(x) = e^x - 1$ — непрерывная элементарная функция, её предел при $x \to 2$ существует. Найдём этот предел: $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2} (e^x - 1) = e^2 - 1.$

3. Совпадает ли предел со значением функции?

Значение функции в точке: $f(2) = e^2 - 1.$ Предел: $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = e^2 - 1.$ Они равны: $f(2) = \lim\limits_{x \to 2} f(x).$

---

Вывод:

Все три условия выполняются, следовательно, функция $f(x) = e^x - 1$ непрерывна в точке $x = 2$.

---

Хотите продолжить с другими заданиями или пояснениями? Вот 5 связанных вопросов:

1. Как проверить непрерывность другой функции, например, $f(x) = \frac{1}{x-2}$ в точке $x = 2$?
2. Что такое односторонние пределы, и когда они необходимы?
3. Какие типы разрывов существуют у функций?
4. Как проверить непрерывность кусочной функции?
5. Как использовать производные для проверки непрерывности функций?

Совет: Для любых элементарных функций (например, экспоненциальных, тригонометрических, логарифмических) проверка непрерывности обычно сводится к проверке их значения в точке, поскольку они уже известны как непрерывные.