Vamos resolver a questão por partes:

---

a) Estudo da continuidade da função $f(x)$:

A função $f(x)$ é definida em três partes:

1. Para $x < 1$: $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{x - 1}$
2. Para $x = 1$: $f(x) = \frac{1}{2}$
3. Para $x > 1$: $f(x) = \frac{x^2 + 2x - 3}{8x - 8}$

Para estudar a continuidade em $\mathbb{R}$, analisamos os limites laterais e a igualdade da função nos pontos críticos, isto é, nos pontos $x = 1$ onde a definição de $f(x)$ muda.

Passo 1: Continuidade em $x = 1$:

Verificamos os limites laterais e comparamos com o valor da função em $x = 1$.

• Limite lateral quando $x \to 1^-$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{x - 1}$ Substituímos $u = x - 1$, com $u \to 0^-$, então $x = u + 1$: $\lim_{u \to 0^-} \frac{\sqrt{(u+1)^2 + 3} - 2}{u}$ Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado $\sqrt{(u+1)^2 + 3} + 2$: $\lim_{u \to 0^-} \frac{(u+1)^2 + 3 - 4}{u \cdot (\sqrt{(u+1)^2 + 3} + 2)}$ No numerador, $(u+1)^2 + 3 - 4 = u^2 + 2u$, e fatoramos: $\lim_{u \to 0^-} \frac{u(u + 2)}{u \cdot (\sqrt{(u+1)^2 + 3} + 2)} = \lim_{u \to 0^-} \frac{u + 2}{\sqrt{(u+1)^2 + 3} + 2}$ Substituímos $u = 0$: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \frac{0 + 2}{\sqrt{(1)^2 + 3} + 2} = \frac{2}{2 + 2} = \frac{1}{2}.$

• Limite lateral quando $x \to 1^+$: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 2x - 3}{8x - 8}$ Fatorando: $f(x) = \frac{(x - 1)(x + 3)}{8(x - 1)} = \frac{x + 3}{8}, \quad x \neq 1.$ Portanto: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1 + 3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$

• Valor da função em $x = 1$: $f(1) = \frac{1}{2}.$

Os limites laterais e o valor da função são iguais, então $f(x)$ é contínua em $x = 1$.

Passo 2: Continuidade para $x \neq 1$:

As expressões de $f(x)$ em $x < 1$ e $x > 1$ não apresentam descontinuidades no domínio definido para cada parte. Portanto, a função é contínua em $\mathbb{R}$.

---

b) Estudo de assíntota horizontal quando $x \to -\infty$:

Analisamos os limites de $f(x)$ nas regiões $x < 1$ e $x > 1$.

Para $x \to -\infty$ com $x < 1$:

A função é: $f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 3} - 2}{x - 1}.$ Quando $x \to -\infty$, note que $\sqrt{x^2 + 3} \sim |x|$ (porque $x^2 + 3 \sim x^2$): $f(x) \sim \frac{|x| - 2}{x}.$ Como $|x| = -x$ para $x < 0$: $f(x) \sim \frac{-x - 2}{x} = -1 - \frac{2}{x}.$ Portanto: $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -1.$

Existe uma assíntota horizontal em $y = -1$ quando $x \to -\infty$.

---

Resposta Final:

1. Continuidade: A função $f(x)$ é contínua em todo o $\mathbb{R}$.
2. Assíntota horizontal: Existe uma assíntota horizontal em $y = -1$ quando $x \to -\infty$.

---

Dúvidas ou deseja um detalhamento maior em algum ponto?

Questões Relativas:

1. Como determinar assíntotas horizontais em outras situações?
2. Qual a diferença entre continuidade e diferenciabilidade?
3. Como o domínio da função influencia a continuidade?
4. Por que usamos o conjugado ao calcular limites envolvendo raízes?
5. Como analisar limites no infinito para funções racionais e irracionais?

Dica: Para estudar continuidade, sempre observe os pontos de transição onde a função muda de definição!