Για να κατασκευάσουμε τα δύο χαρτοφυλάκια με τους συγκεκριμένους περιορισμούς και να εξετάσουμε τις συναρτήσεις κέρδους για κάθε περίπτωση, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τους κανόνες των δικαιωμάτων προαίρεσης (options) και την επίδραση του ετήσιου επιτοκίου.

Δεδομένα του προβλήματος:

• Τρέχουσα τιμή της μετοχής: $S_0 = 2$
• Λήξη call option: $T = \frac{3}{12} = 0.25$ έτη
• Τιμή εξάσκησης του δικού μας call option: $K = 2.5$
• Πουλήσαμε το call option με τιμή: $Y = 0.3$
• Διαθέσιμο call option με τιμή εξάσκησης $L = 3$ και τιμή πώλησης: $0.2$
• Συνεχές ετήσιο επιτόκιο: $r = 0.01$
• Ζημία που δεν πρέπει να υπερβαίνει: $D = 3$
• Οι συναρτήσεις κέρδους πρέπει να έχουν απεριόριστο κέρδος.

Ανάλυση των συναρτήσεων κέρδους για ένα χαρτοφυλάκιο με δικαιώματα προαίρεσης (options):

Η συνάρτηση κέρδους ενός call option με τιμή εξάσκησης $K$ είναι:

$\Pi_{\text{call}}(x) = \max(x - K, 0)$

Όπου $x$ είναι η τιμή της μετοχής στην λήξη $S_T$. Το ίδιο ισχύει και για το call option με τιμή εξάσκησης $L = 3$.

Χαρτοφυλάκιο 1:

Κατασκευή με την χρήση του call option με τιμή εξάσκησης $L = 3$:

• Έχουμε πουλήσει ένα call option με τιμή εξάσκησης $K = 2.5$ στην τιμή $Y = 0.3$.
• Αγοράζουμε ένα call option με τιμή εξάσκησης $L = 3$ στην τιμή $0.2$.

Συνάρτηση κέρδους:

Η συνάρτηση κέρδους του χαρτοφυλακίου 1 είναι:

$\Pi_1(x) = -\max(x - 2.5, 0) + \max(x - 3, 0) + 0.3 - 0.2$

Απλοποιώντας:

$\Pi_1(x) = -\max(x - 2.5, 0) + \max(x - 3, 0) + 0.1$

Ανάλυση ορίων:

• Για $x \to 0$, $\Pi_1(x) = 0.1$, αφού δεν εξασκείται κανένα option.
• Για $x \to \infty$, η συνάρτηση κέρδους πλησιάζει το άπειρο επειδή το κέρδος από το call option με $L = 3$ αυξάνεται απεριόριστα, ενώ η απώλεια από το call option με $K = 2.5$ είναι πεπερασμένη.

Ελάχιστη ζημιά:

Η ελάχιστη ζημιά είναι $-D = -3$. Ας εξετάσουμε την ζημία για $x \leq 2.5$:

Για $x \leq 2.5$, η συνάρτηση κέρδους είναι:

$\Pi_1(x) = 0.1$

Άρα η ελάχιστη ζημιά είναι μικρότερη από 3.

Χαρτοφυλάκιο 2:

Κατασκευή χωρίς τη χρήση του call option με τιμή εξάσκησης $L = 3$:

• Έχουμε πουλήσει ένα call option με τιμή εξάσκησης $K = 2.5$ στην τιμή $Y = 0.3$.
• Αγοράζουμε ένα call option με τιμή εξάσκησης $K = 2.5$ (άλλο αντίθετο).

Συνάρτηση κέρδους:

Η συνάρτηση κέρδους του χαρτοφυλακίου 2 είναι:

$\Pi_2(x) = -\max(x - 2.5, 0) + 0.3$

Αυτή η συνάρτηση περιγράφει μια πιο απλή στρατηγική, όπου πάλι η ελάχιστη ζημιά είναι πεπερασμένη.

Όρια:

• Για $x \to \infty$, η συνάρτηση πλησιάζει το άπειρο (απεριόριστο κέρδος).

Επιλογή Χαρτοφυλακίου:

Αν η $S_T$ ακολουθεί την Γεωμετρική Κίνηση Brown με παραμέτρους $m = 0.2$ και $\sigma = 0.01$, η αναμενόμενη τιμή της $S_T$ είναι:

$\mathbb{E}[S_T] = S_0 e^{(m - \frac{\sigma^2}{2})T} = 2 e^{(0.2 - \frac{0.01^2}{2}) \cdot 0.25}$

Υπολογίζοντας την αναμενόμενη τιμή, και κατόπιν συγκρίνοντας τη με τις συναρτήσεις κέρδους των δύο χαρτοφυλακίων, μπορούμε να επιλέξουμε το πιο κερδοφόρο χαρτοφυλάκιο.

Θέλετε να υπολογίσουμε ακριβώς την αναμενόμενη τιμή της $S_T$ και να κάνουμε τη σύγκριση;