Даны уравнения: а)3x2+6y2
–12x +12y -4 = 0; б) 5x2+y2
–10x +4y -5 = 0; в) y2+8x +4y-2 = 0
построить кривые.

Для решения задачи и построения кривых, необходимо определить, какие уравнения соответствуют каким геометрическим фигурам (например, окружность, эллипс, гипербола или парабола). Давайте разберем каждое уравнение и упростим их до стандартной формы, чтобы определить тип кривой:

### а) \(3x^2 + 6y^2 - 12x + 12y - 4 = 0\)

1. Группируем и приводим к квадратам:
   \[
   3(x^2 - 4x) + 6(y^2 + 2y) = 4
   \]
2. Завершаем квадраты:
   \[
   3((x - 2)^2 - 4) + 6((y + 1)^2 - 1) = 4
   \]
   \[
   3(x - 2)^2 - 12 + 6(y + 1)^2 - 6 = 4
   \]
   \[
   3(x - 2)^2 + 6(y + 1)^2 = 22
   \]
3. Приведем к стандартной форме:
   \[
   \frac{(x - 2)^2}{\frac{22}{3}} + \frac{(y + 1)^2}{\frac{11}{3}} = 1
   \]

   Это уравнение эллипса с центром в точке \((2, -1)\).

### б) \(5x^2 + y^2 - 10x + 4y - 5 = 0\)

1. Группируем и приводим к квадратам:
   \[
   5(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 5
   \]
2. Завершаем квадраты:
   \[
   5((x - 1)^2 - 1) + ((y + 2)^2 - 4) = 5
   \]
   \[
   5(x - 1)^2 - 5 + (y + 2)^2 - 4 = 5
   \]
   \[
   5(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 14
   \]
3. Приведем к стандартной форме:
   \[
   \frac{(x - 1)^2}{\frac{14}{5}} + \frac{(y + 2)^2}{14} = 1
   \]

   Это также уравнение эллипса с центром в точке \((1, -2)\).

### в) \(y^2 + 8x + 4y - 2 = 0\)

1. Группируем и приводим к квадрату:
   \[
   (y^2 + 4y) + 8x = 2
   \]
2. Завершаем квадрат:
   \[
   (y + 2)^2 - 4 + 8x = 2
   \]
   \[
   (y + 2)^2 + 8x = 6
   \]
   \[
   (y + 2)^2 = -8x + 6
   \]
3. Приведем к стандартной форме параболы:
   \[
   (y + 2)^2 = -8(x - \frac{3}{4})
   \]

   Это уравнение параболы с вершиной в точке \(\left(\frac{3}{4}, -2\right)\), направленной влево.

### Итог
- Уравнение (а) и (б) описывают эллипсы.
- Уравнение (в) описывает параболу.

Теперь кривые можно построить на координатной плоскости, используя их стандартные формы.

Хотите ли вы, чтобы я более подробно объяснил построение каждой кривой или подготовил чертежи для них?

### 5 вопросов для дальнейшего изучения:
1. Как определить фокус и вершины эллипса по его уравнению?
2. Чем отличается парабола, направленная влево, от параболы, направленной вверх?
3. Какие кривые второго порядка можно получить, если коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\) равны по знаку?
4. Что происходит с эллипсом, если один из коэффициентов при \(x^2\) или \(y^2\) равен нулю?
5. Как изменится форма параболы, если изменить коэффициент перед \(x\)?

### Совет:
При завершении квадратов будьте внимательны с знаками и коэффициентами, это поможет избежать ошибок при приведении уравнений к стандартной форме.

Даны уравнения: а) 3x^2 + 6y^2 – 12x + 12y - 4 = 0; б) 5x^2 + y^2 – 10x + 4y - 5 = 0; в) y^2 + 8x + 4y - 2 = 0 построить кривые.

Explore how to construct conic sections—two ellipses and one parabola—from their algebraic equations. This problem demonstrates key concepts such as completing the square, identifying standard forms of ellipses and parabolas, and graphing curves. Suitable for advanced high school students (Grades 11-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation