Для решения задачи и построения кривых, необходимо определить, какие уравнения соответствуют каким геометрическим фигурам (например, окружность, эллипс, гипербола или парабола). Давайте разберем каждое уравнение и упростим их до стандартной формы, чтобы определить тип кривой:

а) $3x^2 + 6y^2 - 12x + 12y - 4 = 0$

1. Группируем и приводим к квадратам: $3(x^2 - 4x) + 6(y^2 + 2y) = 4$

2. Завершаем квадраты: $3((x - 2)^2 - 4) + 6((y + 1)^2 - 1) = 4$ $3(x - 2)^2 - 12 + 6(y + 1)^2 - 6 = 4$ $3(x - 2)^2 + 6(y + 1)^2 = 22$

3. Приведем к стандартной форме: $\frac{(x - 2)^2}{\frac{22}{3}} + \frac{(y + 1)^2}{\frac{11}{3}} = 1$

   Это уравнение эллипса с центром в точке $(2, -1)$.

б) $5x^2 + y^2 - 10x + 4y - 5 = 0$

1. Группируем и приводим к квадратам: $5(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 5$

2. Завершаем квадраты: $5((x - 1)^2 - 1) + ((y + 2)^2 - 4) = 5$ $5(x - 1)^2 - 5 + (y + 2)^2 - 4 = 5$ $5(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 14$

3. Приведем к стандартной форме: $\frac{(x - 1)^2}{\frac{14}{5}} + \frac{(y + 2)^2}{14} = 1$

   Это также уравнение эллипса с центром в точке $(1, -2)$.

в) $y^2 + 8x + 4y - 2 = 0$

1. Группируем и приводим к квадрату: $(y^2 + 4y) + 8x = 2$

2. Завершаем квадрат: $(y + 2)^2 - 4 + 8x = 2$ $(y + 2)^2 + 8x = 6$ $(y + 2)^2 = -8x + 6$

3. Приведем к стандартной форме параболы: $(y + 2)^2 = -8(x - \frac{3}{4})$

   Это уравнение параболы с вершиной в точке $\left(\frac{3}{4}, -2\right)$, направленной влево.

Итог

• Уравнение (а) и (б) описывают эллипсы.
• Уравнение (в) описывает параболу.

Теперь кривые можно построить на координатной плоскости, используя их стандартные формы.

Хотите ли вы, чтобы я более подробно объяснил построение каждой кривой или подготовил чертежи для них?

5 вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как определить фокус и вершины эллипса по его уравнению?
2. Чем отличается парабола, направленная влево, от параболы, направленной вверх?
3. Какие кривые второго порядка можно получить, если коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ равны по знаку?
4. Что происходит с эллипсом, если один из коэффициентов при $x^2$ или $y^2$ равен нулю?
5. Как изменится форма параболы, если изменить коэффициент перед $x$?

Совет:

При завершении квадратов будьте внимательны с знаками и коэффициентами, это поможет избежать ошибок при приведении уравнений к стандартной форме.