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El problema solicita encontrar el valor o los valores de la constante \( a \) para que el límite de la función \( f(x) \) exista cuando \( x \to 1 \), dado que:

\[
f(x) = \begin{cases} 
ax^2 + 2x & \text{si } x \leq 1 \\
x^3 - 1 & \text{si } x > 1
\end{cases}
\]

### Paso 1: Condición de continuidad en \( x = 1 \)

Para que el límite de \( f(x) \) cuando \( x \to 1 \) exista, la función debe ser continua en \( x = 1 \). Esto significa que el valor de \( f(1) \) por la izquierda (cuando \( x \leq 1 \)) debe ser igual al valor por la derecha (cuando \( x > 1 \)).

Primero evaluamos \( f(x) \) para los casos izquierdo y derecho en \( x = 1 \).

#### Límite por la izquierda (\( x \to 1^- \)):
Para \( x \leq 1 \), tenemos:
\[
f(x) = ax^2 + 2x
\]
El límite cuando \( x \to 1^- \) es:
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = a(1)^2 + 2(1) = a + 2
\]

#### Límite por la derecha (\( x \to 1^+ \)):
Para \( x > 1 \), tenemos:
\[
f(x) = x^3 - 1
\]
El límite cuando \( x \to 1^+ \) es:
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = (1)^3 - 1 = 0
\]

### Paso 2: Igualar los límites
Para que el límite de \( f(x) \) exista en \( x = 1 \), los límites por la izquierda y por la derecha deben ser iguales. Es decir:
\[
a + 2 = 0
\]
De aquí despejamos \( a \):
\[
a = -2
\]

### Conclusión:
El valor de \( a \) para que el límite de \( f(x) \) exista cuando \( x \to 1 \) es \( a = -2 \).

¿Te gustaría más detalles o aclaraciones?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determina la continuidad de una función en un punto específico?
2. ¿Qué pasa si los límites por la izquierda y derecha no son iguales en un punto?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( a \) en la forma de la función para \( x \leq 1 \)?
4. ¿Qué tipo de discontinuidades existen y cómo se identifican?
5. ¿Cuál es el papel del límite en la definición formal de la derivada?

**Tip**: Para asegurar que una función sea continua en un punto, siempre verifica que los límites laterales sean iguales y coincidan con el valor de la función en ese punto.

Halle el valor o los valores de la constante a para que lim (x→1) f(x) exista, donde f(x) = {ax^2 + 2x si x ≤ 1, x^3 - 1 si x > 1}.

Determine the value of the constant a so that the limit of the piecewise function f(x) exists as x approaches 1. This problem involves concepts such as limits, continuity, and piecewise functions, and is suitable for students in Grades 10-12.

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