Luottamusväli ja sen ominaisuudet

Luottamusväli voidaan laskea yksinkertaisessa tilanteessa esimerkiksi kaavalla:

$\text{Luottamusväli} = \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},$

missä

• $\bar{x}$ on otoskeskiarvo,
• $z$ on kriittinen arvo, joka riippuu luottamustasosta $100(1-\alpha)\%$,
• $\sigma$ on populaation keskihajonta (tai otoskeskihajonta),
• $n$ on otoskoko.

Tarkastellaan kysymyksiä tämän kaavan avulla:

---

1. Miten luottamustaso $100(1-\alpha)\%$ vaikuttaa luottamusvälin leveyteen?

• Kriittinen arvo $z$ kasvaa, kun luottamustaso $100(1-\alpha)\%$ kasvaa, koska suurempi luottamustaso tarkoittaa, että halutaan kattaa enemmän mahdollista vaihtelua populaatiossa.
• Tämän seurauksena luottamusväli levenee suuremmalla luottamustasolla.
• Esimerkiksi $90\%$ luottamustasolla $z$-arvo voi olla $1.645$, kun taas $95\%$-luottamustasolla $z$-arvo on $1.96$.

---

2. Miten otoskoko $n$ vaikuttaa luottamusvälin leveyteen?

• Otoskoko vaikuttaa luottamusvälin leveyteen kaavan termissä $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
• Kun otoskoko $n$ kasvaa, $\sqrt{n}$ kasvaa, ja näin $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ pienenee.
• Tämän seurauksena luottamusväli kapenee, kun otoskoko kasvaa, koska otoksesta saadaan tarkempi arvio populaatiosta.

---

3. Miten luottamustaso $100(1-\alpha)\%$ vaikuttaa luottamusvälin tulkintaan?

• Korkea luottamustaso (esim. $99\%$) tarkoittaa, että voimme olla erittäin varmoja, että todellinen populaatioparametri (esim. keskiarvo) kuuluu luottamusvälin sisään. Tällöin kuitenkin väli on leveämpi, mikä tekee arviosta epätarkemman.
• Matala luottamustaso (esim. $90\%$) johtaa kapeampaan luottamusväliin, mutta samalla tulkinta on vähemmän luotettava – on suurempi todennäköisyys, että populaatioparametri jää välin ulkopuolelle.

---

Yhteenveto

• Luottamustaso $100(1-\alpha)\%$: Korkeampi luottamustaso kasvattaa välin leveyttä.
• Otoskoko $n$: Suurempi otoskoko pienentää välin leveyttä.
• Tulkinta: Korkeampi luottamustaso lisää varmuutta, mutta vähentää tarkkuutta; matalampi luottamustaso vähentää varmuutta, mutta lisää tarkkuutta.

---

Haluatko esimerkkilaskelman näiden vaikutusten havainnollistamiseksi?

Kysymyksiä pohdittavaksi:

1. Mikä merkitys luottamusvälin leveydellä on käytännön päätöksenteossa?
2. Mitä tapahtuu, jos otoskoko $n$ on hyvin pieni?
3. Kuinka kriittisen arvon $z$ löytää eri luottamustasoille?
4. Mitä oletuksia populaation keskihajonnasta $\sigma$ tulee tehdä?
5. Kuinka luottamusväli muuttuu, jos käytetään $t$-jakaumaa $z$-jakauman sijaan?

Vinkki: Käytä aina riittävää otoskokoa (esim. $n \geq 30$) varmistaaksesi luotettavuuden ja vähentääksesi satunnaisvaihtelua.