Da bismo odredili skup svih kompleksnih brojeva koji imaju isti modul kao broj $z = 5 - i \sqrt{2}$, prvo ćemo izračunati modul ovog broja.

1. Računanje modula kompleksnog broja $z$

Modul kompleksnog broja $z = a + bi$ definiran je kao: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ Gdje su:

• $a = 5$
• $b = -\sqrt{2}$

Zamijenimo vrijednosti u formulu: $|z| = \sqrt{5^2 + (-\sqrt{2})^2}$ $|z| = \sqrt{25 + 2}$ $|z| = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

2. Skup kompleksnih brojeva s istim modulom

Skup svih kompleksnih brojeva $w = x + yi$ koji imaju modul $|w| = 3\sqrt{3}$ zadovoljava: $|w| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3\sqrt{3}$ Podignimo obje strane na kvadrat: $x^2 + y^2 = 27$

Dakle, traženi skup kompleksnih brojeva je opisan jednadžbom kruga: $x^2 + y^2 = 27$

Zaključak

Skup svih kompleksnih brojeva koji imaju isti modul kao broj $z = 5 - i \sqrt{2}$ čini krug u kompleksnoj ravnini sa središtem u ishodištu i polumjerom $3\sqrt{3}$.

Želite li više detalja ili imate dodatnih pitanja?

Srodna pitanja za daljnje istraživanje:

1. Kako izračunati argument kompleksnog broja $z = 5 - i\sqrt{2}$?
2. Kako grafički prikazati skup kompleksnih brojeva s istim modulom?
3. Što se događa kada se modul kompleksnog broja mijenja?
4. Kako definirati skup kompleksnih brojeva koji imaju različiti modul ali isti argument?
5. Što znači imaginarni dio kompleksnog broja i kako utječe na njegov modul?

Savjet: Modul kompleksnog broja uvijek je nenegativan i predstavlja udaljenost tog broja od ishodišta na kompleksnoj ravnini.