Math Problem Statement

Olkoot z=2*(3/2)⋅i+2*(3/2) ja w=2⋅3–√⋅i−2 kompleksilukuja. Laske kompleksiluvun u itseisarvo ja argumentin pääarvo, kun

a)u=z^3/w^2.

Solution

Meillä on kompleksiluvut z=2(32)i+2(32)z = 2 \cdot \left( \frac{3}{2} \right) \cdot i + 2 \cdot \left( \frac{3}{2} \right) ja w=23i2w = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i - 2.

Näiden perusteella voidaan laskea kompleksiluvun u=z3w2u = \frac{z^3}{w^2} itseisarvo ja argumentin pääarvo.

1. Laske zz ja ww

Ensiksi lasketaan zz ja ww:

z=232i+232=3i+3z = 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot i + 2 \cdot \frac{3}{2} = 3i + 3

w=23i2w = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i - 2

Joten z=3+3iz = 3 + 3i ja w=2+23iw = -2 + 2\sqrt{3}i.

2. Laske z3z^3 ja w2w^2

z3z^3

Lasketaan ensin z3z^3, kun z=3+3iz = 3 + 3i. Tämä voidaan laskea käyttämällä binomikertomaa:

z2=(3+3i)2=9+9i+9i+9i2=9+18i9=18iz^2 = (3 + 3i)^2 = 9 + 9i + 9i + 9i^2 = 9 + 18i - 9 = 18i

z3=zz2=(3+3i)18i=54i+54i2=54i54=54+54iz^3 = z \cdot z^2 = (3 + 3i) \cdot 18i = 54i + 54i^2 = 54i - 54 = -54 + 54i

w2w^2

Seuraavaksi lasketaan w2w^2, kun w=2+23iw = -2 + 2\sqrt{3}i:

w2=(2+23i)2=(2)2+2(2)23i+(23i)2w^2 = (-2 + 2\sqrt{3}i)^2 = (-2)^2 + 2 \cdot (-2) \cdot 2\sqrt{3}i + (2\sqrt{3}i)^2

w2=483i+12i2=483i12=883iw^2 = 4 - 8\sqrt{3}i + 12i^2 = 4 - 8\sqrt{3}i - 12 = -8 - 8\sqrt{3}i

3. Laske u=z3w2u = \frac{z^3}{w^2}

Lasketaan seuraavaksi u=z3w2u = \frac{z^3}{w^2}:

u=54+54i883iu = \frac{-54 + 54i}{-8 - 8\sqrt{3}i}

Tätä voidaan yksinkertaistaa kertomalla osoittaja ja nimittäjä nimittäjän kompleksikonjugaatilla 8+83i-8 + 8\sqrt{3}i:

u=(54+54i)(8+83i)(883i)(8+83i)u = \frac{(-54 + 54i)(-8 + 8\sqrt{3}i)}{(-8 - 8\sqrt{3}i)(-8 + 8\sqrt{3}i)}

Nimittäjän laskeminen:

(883i)(8+83i)=(8)2(83i)2=64192i2=64+192=256(-8 - 8\sqrt{3}i)(-8 + 8\sqrt{3}i) = (-8)^2 - (8\sqrt{3}i)^2 = 64 - 192i^2 = 64 + 192 = 256

Osoittaja:

(54+54i)(8+83i)=(54)(8)+(54)(83i)+(54i)(8)+(54i)(83i)(-54 + 54i)(-8 + 8\sqrt{3}i) = (-54)(-8) + (-54)(8\sqrt{3}i) + (54i)(-8) + (54i)(8\sqrt{3}i)

=4324323i432i4323i2= 432 - 432\sqrt{3}i - 432i - 432\sqrt{3}i^2

=4324323i432i+4323=(432+4323)(432+4323)i= 432 - 432\sqrt{3}i - 432i + 432\sqrt{3} = (432 + 432\sqrt{3}) - (432 + 432\sqrt{3})i

Joten:

u=(432+4323)(432+4323)i256u = \frac{(432 + 432\sqrt{3}) - (432 + 432\sqrt{3})i}{256}

4. Itseisarvo ja argumentti

uu-lukuna on muotoa a+bia + bi, joten itseisarvo on:

u=a2+b2|u| = \sqrt{a^2 + b^2}

ja argumentin pääarvo arg(u)\text{arg}(u) voidaan laskea tangenttifunktion avulla.

Haluatko vielä tarkentaa tätä viimeistä vaihetta?

5 Seuraavat kysymykset

  1. Haluaisitko laskea itseisarvon ja argumentin tarkat arvot?
  2. Kiinnostaisiko sinua tarkempi selitys vaiheiden 3 tai 4 laskennasta?
  3. Haluaisitko lisäharjoituksia liittyen kompleksilukujen potenssiin?
  4. Tarvitsetko lisää esimerkkejä itseisarvon laskemisesta kompleksiluvuille?
  5. Kaipaatko ohjeita, miten käsitellä kompleksilukujen osittelua muotoon a+bia + bi?

Vinkki: Kompleksiluvun argumentin pääarvo on aina radiaaneina välillä π<arg(z)π-\pi < \text{arg}(z) \leq \pi.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Complex Numbers
Complex Conjugates
Magnitude of Complex Numbers
Argument of Complex Numbers

Formulas

z^3 = (a + bi)^3
w^2 = (c + di)^2
Complex conjugate: z̅ = a - bi
Magnitude: |u| = √(a^2 + b^2)
Argument: arg(u) = atan2(b, a)

Theorems

De Moivre's Theorem
Properties of Complex Conjugates
Polar Form of Complex Numbers

Suitable Grade Level

Undergraduate Mathematics