Dados los números complejos: z1=3−i, z2=4+3i y z3=2+5i
,  Calcular z1+z2z2⋅z3
  .

Dado el problema:

Se nos pide calcular la expresión:

\[
z_1 + \frac{z_2}{z_2 \cdot z_3}
\]

donde:
- \( z_1 = 3 - i \)
- \( z_2 = 4 + 3i \)
- \( z_3 = 2 + 5i \)

### Paso 1: Calcular \( z_2 \cdot z_3 \)

Multiplicamos los números complejos \( z_2 \) y \( z_3 \):

\[
z_2 \cdot z_3 = (4 + 3i)(2 + 5i)
\]

Usamos la propiedad distributiva:

\[
z_2 \cdot z_3 = 4(2 + 5i) + 3i(2 + 5i) = 8 + 20i + 6i + 15i^2
\]

Sabemos que \( i^2 = -1 \), entonces:

\[
z_2 \cdot z_3 = 8 + 26i + 15(-1) = 8 + 26i - 15 = -7 + 26i
\]

### Paso 2: Calcular \( \frac{z_2}{z_2 \cdot z_3} \)

Ahora debemos calcular la división de los números complejos \( z_2 \) y \( z_2 \cdot z_3 \):

\[
\frac{z_2}{z_2 \cdot z_3} = \frac{4 + 3i}{-7 + 26i}
\]

Para simplificar esta fracción, multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador:

\[
\frac{4 + 3i}{-7 + 26i} \cdot \frac{-7 - 26i}{-7 - 26i} = \frac{(4 + 3i)(-7 - 26i)}{(-7)^2 + (26)^2}
\]

Multiplicamos los números complejos en el numerador:

\[
(4 + 3i)(-7 - 26i) = 4(-7 - 26i) + 3i(-7 - 26i) = -28 - 104i - 21i - 78i^2
\]

Sabemos que \( i^2 = -1 \), entonces:

\[
= -28 - 125i + 78 = 50 - 125i
\]

El denominador es:

\[
(-7)^2 + (26)^2 = 49 + 676 = 725
\]

Por lo tanto, tenemos:

\[
\frac{z_2}{z_2 \cdot z_3} = \frac{50 - 125i}{725} = \frac{50}{725} - \frac{125i}{725} = \frac{2}{29} - \frac{5i}{29}
\]

### Paso 3: Calcular \( z_1 + \frac{z_2}{z_2 \cdot z_3} \)

Ahora sumamos \( z_1 = 3 - i \) con \( \frac{z_2}{z_2 \cdot z_3} = \frac{2}{29} - \frac{5i}{29} \):

\[
z_1 + \frac{z_2}{z_2 \cdot z_3} = (3 - i) + \left( \frac{2}{29} - \frac{5i}{29} \right)
\]

Esto es:

\[
= \left( 3 + \frac{2}{29} \right) + \left( -1 - \frac{5}{29} \right)i
\]

Simplificando los términos:

\[
3 + \frac{2}{29} = \frac{87}{29} + \frac{2}{29} = \frac{89}{29}
\]

\[
-1 - \frac{5}{29} = \frac{-29}{29} - \frac{5}{29} = \frac{-34}{29}
\]

Por lo tanto, el resultado es:

\[
z_1 + \frac{z_2}{z_2 \cdot z_3} = \frac{89}{29} + \frac{-34}{29}i
\]

### Respuesta final:

\[
z_1 + \frac{z_2}{z_2 \cdot z_3} = \frac{89}{29} - \frac{34}{29}i
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calcula el conjugado de un número complejo?
2. ¿Cuál es la propiedad distributiva para la multiplicación de números complejos?
3. ¿Qué significa dividir números complejos usando conjugados?
4. ¿Cómo se representa un número complejo en forma polar?
5. ¿Cómo se realiza la suma y resta de números complejos?

**Tip**: Al dividir números complejos, siempre usa el conjugado del denominador para evitar números imaginarios en el denominador.

Dados los números complejos: z1=3−i, z2=4+3i y z3=2+5i, Calcular z1 + z2 / (z2 ⋅ z3).

Learn how to calculate the expression z1 + z2 / (z2 ⋅ z3) involving complex numbers. This detailed solution covers key mathematical concepts such as multiplication, division, and addition of complex numbers, making it suitable for undergraduate-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation