F(x)=xe^-5x+3 completer le tableau de variation f 

Pour compléter le tableau de variation de la fonction \( f(x) = x e^{-5x} + 3 \), nous devons d'abord déterminer les dérivées premières et secondes afin de comprendre le comportement de la fonction.

### 1. Calcul de la dérivée première \( f'(x) \)

La fonction est donnée par \( f(x) = x e^{-5x} + 3 \).

La dérivée première \( f'(x) \) s'obtient en utilisant la règle du produit :

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left(x e^{-5x}\right) + \frac{d}{dx}(3)
\]

Comme la dérivée de 3 est 0, nous ne la considérons pas dans le calcul.

Pour \( x e^{-5x} \), appliquons la règle du produit :

\[
f'(x) = e^{-5x} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{-5x})
\]

La dérivée de \( e^{-5x} \) par rapport à \( x \) est \( -5e^{-5x} \). Donc,

\[
f'(x) = e^{-5x} - 5x e^{-5x}
\]

Simplifions :

\[
f'(x) = e^{-5x}(1 - 5x)
\]

### 2. Étude du signe de \( f'(x) \)

Le signe de \( f'(x) = e^{-5x}(1 - 5x) \) dépend du facteur \( 1 - 5x \).

- \( e^{-5x} \) est toujours positif pour tout \( x \).
- Le signe de \( f'(x) \) est donc le signe de \( 1 - 5x \).

\( 1 - 5x = 0 \) donne \( x = \frac{1}{5} = 0,2 \).

- Si \( x < 0,2 \), \( f'(x) > 0 \) (la fonction est croissante).
- Si \( x > 0,2 \), \( f'(x) < 0 \) (la fonction est décroissante).

### 3. Tableau de variation

À partir de ces informations, nous pouvons compléter le tableau de variation de \( f(x) \).

| Intervalle       | \( x < 0,2 \) | \( x = 0,2 \) | \( x > 0,2 \) |
|------------------|---------------|---------------|---------------|
| \( f'(x) \)      | +             | 0             | -             |
| \( f(x) \)       | Croissante    | Maximum       | Décroissante  |

Le maximum local se situe à \( x = 0,2 \).

### Valeur du maximum
Pour compléter le tableau, il serait utile de calculer la valeur de \( f(0,2) \):

\[
f(0,2) = 0,2 \cdot e^{-1} + 3
\]

Voulez-vous que je calcule cette valeur pour vous ?

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Avez-vous des questions ou besoin de détails supplémentaires ? 

Voici 5 questions relatives :

1. Comment la dérivée seconde \( f''(x) \) peut-elle être utilisée pour affiner le tableau de variation ?
2. Quels sont les points d'inflexion de la fonction \( f(x) \) ?
3. Comment interpréter le comportement asymptotique de \( f(x) \) ?
4. Quels effets ont les transformations de la fonction exponentielle sur le graphique de \( f(x) \) ?
5. Comment les dérivées partielles influencent-elles le comportement de fonctions similaires dans des cas plus complexes ?

**Astuce** : Lorsque vous travaillez avec des fonctions exponentielles, il est souvent utile de factoriser pour simplifier l'analyse des dérivées.

F(x)=xe^-5x+3 complétez le tableau de variation de f

Learn how to complete the variation table for the function f(x) = xe^-5x + 3 by using differentiation and sign analysis. This solution covers the product rule, exponential functions, and the determination of increasing or decreasing intervals. Suitable for Grades 11-12.

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