Чтобы понять, какое из утверждений сильнее, необходимо рассмотреть их логическую структуру и универсальность. Рассмотрим каждую пару утверждений:

а) ∃xP(x) или ∀xP(x)

• ∃xP(x): существует хотя бы один элемент $x$, для которого утверждение $P(x)$ истинно.
• ∀xP(x): для всех элементов $x$ утверждение $P(x)$ истинно.

Ответ: $∀xP(x)$ сильнее, так как требует истинности утверждения для всех элементов, тогда как $∃xP(x)$ достаточно одного истинного элемента.

б) ∀xP(x) ∧ Q(x) или ∀xP(x) ∨ Q(x)

• ∀xP(x) ∧ Q(x): для всех элементов $x$ и $P(x)$, и $Q(x)$ истинны.
• ∀xP(x) ∨ Q(x): для всех элементов $x$ истинно хотя бы одно из утверждений $P(x)$ или $Q(x)$.

Ответ: $∀xP(x) ∧ Q(x)$ сильнее, так как требует истинности обоих утверждений для каждого $x$, тогда как $∀xP(x) ∨ Q(x)$ достаточно истинности хотя бы одного из них.

в) ∀xP(x) ≡ Q(x) или ∀xP(x) → Q(x)

• ∀xP(x) ≡ Q(x): для всех $x$ $P(x)$ и $Q(x)$ имеют одинаковое значение, то есть истинность $P(x)$ влечёт истинность $Q(x)$ и наоборот.
• ∀xP(x) → Q(x): для всех $x$ если $P(x)$ истинно, то $Q(x)$ также истинно, но обратное не обязательно.

Ответ: $∀xP(x) ≡ Q(x)$ сильнее, так как требует эквивалентности $P(x)$ и $Q(x)$, тогда как $∀xP(x) → Q(x)$ требует только следствия $Q(x)$ при истинности $P(x)$.

г) ∃x∀yP(x, y) или ∀y∃xP(x, y)

• ∃x∀yP(x, y): существует хотя бы один элемент $x$, для которого утверждение $P(x, y)$ истинно для всех $y$.
• ∀y∃xP(x, y): для каждого элемента $y$ существует хотя бы один $x$, для которого $P(x, y)$ истинно.

Ответ: $∃x∀yP(x, y)$ сильнее, так как утверждает существование такого элемента $x$, который подходит для всех $y$, в то время как $∀y∃xP(x, y)$ допускает существование различных элементов $x$ для разных $y$.

д) ∃x∀yP(x, y) или ∀x∃yP(x, y)

• ∃x∀yP(x, y): существует хотя бы один $x$, для которого $P(x, y)$ истинно для всех $y$.
• ∀x∃yP(x, y): для каждого $x$ существует хотя бы один $y$, для которого $P(x, y)$ истинно.

Ответ: $∃x∀yP(x, y)$ сильнее, так как утверждает наличие такого элемента $x$, который делает утверждение истинным для всех $y$, в отличие от $∀x∃yP(x, y)$, где для каждого $x$ может существовать свой $y$.

---

Хотите получить более детальное объяснение? Вот несколько вопросов для размышления:

1. Каков логический смысл кванторов существования и всеобщности?
2. Можно ли сказать, что более сильные утверждения всегда универсальны?
3. Как изменится сила утверждения, если поменять порядок кванторов?
4. В каких приложениях полезно анализировать силу логических выражений?
5. Как эти утверждения можно проиллюстрировать на конкретных примерах?

Совет: Всегда анализируйте порядок и тип кванторов — это может существенно изменить значение логического утверждения.