Zadanie polega na znalezieniu liczby ciągów $x_1, x_2, x_3, x_4$, które spełniają równanie:

$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12$

gdzie wszystkie zmienne $x_1, x_2, x_3, x_4$ są liczbami naturalnymi, tzn. $x_i \geq 1$ dla $i = 1, 2, 3, 4$.

Podejście do rozwiązania:

Zacznijmy od zamiany zmiennych, aby ułatwić rozwiązanie. Ponieważ każda z liczb $x_1, x_2, x_3, x_4$ musi być co najmniej 1, możemy wykonać podstawienie:

$y_1 = x_1 - 1, \quad y_2 = x_2 - 1, \quad y_3 = x_3 - 1, \quad y_4 = x_4 - 1$

Teraz $y_1, y_2, y_3, y_4$ są liczbami całkowitymi nieujemnymi (czyli $y_i \geq 0$).

Podstawiając do oryginalnego równania:

$(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + (y_3 + 1) + (y_4 + 1) = 12$

co upraszcza się do:

$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 8$

Teraz mamy problem, który polega na znalezieniu liczby rozwiązań równania:

$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 8$

gdzie $y_1, y_2, y_3, y_4$ są liczbami całkowitymi nieujemnymi.

Rozwiązanie za pomocą wzoru:

To jest klasyczny problem kombinatoryczny, który można rozwiązać za pomocą wzoru na liczbę rozwiązań równań w liczbach całkowitych nieujemnych. Wzór ten jest znany jako wzór na kombinacje z powtórzeniami:

$\binom{n + k - 1}{k - 1}$

gdzie:

• $n$ to suma, którą chcemy uzyskać (w tym przypadku 8),
• $k$ to liczba zmiennych (w tym przypadku 4).

Podstawiając wartości:

$\binom{8 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{11}{3}$

Obliczenie:

$\binom{11}{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165$

Odpowiedź:

Liczba ciągów $x_1, x_2, x_3, x_4$, które spełniają równanie $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 12$, gdzie wszystkie $x_i \geq 1$, wynosi 165.

---

Czy chcesz, abym wyjaśnił szczegóły tego rozwiązania lub masz inne pytania?

Oto kilka pytań, które mogą Cię zainteresować:

1. Jak obliczyć liczbę rozwiązań równań z większą liczbą zmiennych?
2. Co się stanie, jeśli zmienimy warunki i liczby muszą być liczbami całkowitymi dodatnimi (większymi niż 0)?
3. Jakie inne kombinacyjne problemy można rozwiązywać za pomocą tego typu wzoru?
4. Jak rozwiązywać problemy tego typu, gdy mamy dodatkowe ograniczenia, np. suma nie może przekroczyć pewnej wartości?
5. Jakie inne techniki rozwiązania problemów kombinatorycznych są stosowane w matematyce?

Tip: W problemach kombinacyjnych z powtórzeniami bardzo pomocne są techniki podstawiania zmiennych, które upraszczają obliczenia, jak w przypadku tego zadania.