a) 6 Ziffern (0, ..., 9), wobei keine führenden Nullen erlaubt sind.

Für die erste Ziffer gibt es 9 mögliche Optionen (1 bis 9), da keine führenden Nullen erlaubt sind. Für jede der restlichen 5 Ziffern gibt es 10 Möglichkeiten (0 bis 9).

• Erste Stelle: $9$ Möglichkeiten (1–9)
• Weitere 5 Stellen: $10$ Möglichkeiten pro Stelle (0–9)

Die Gesamtzahl der möglichen PINs beträgt also:

$9 \times 10^5 = 900,000$

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b) 9 Alphazeichen (0, ..., 9, a, ..., z, A, ..., Z)

Hier haben wir 62 Zeichen zur Auswahl:

• 10 Ziffern (0–9)
• 26 Kleinbuchstaben (a–z)
• 26 Großbuchstaben (A–Z)

Für jedes der 9 Zeichen gibt es $62$ Möglichkeiten, daher:

$62^9$

Dies ergibt etwa:

$62^9 \approx 1.351 \times 10^{16}$

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c) 7 Alphazeichen, wobei genau das erste und das letzte Zeichen identisch sein müssen.

Es gibt wieder 62 mögliche Zeichen für die Alphazeichen, aber das erste und das letzte Zeichen müssen identisch sein. Für das erste Zeichen gibt es $62$ Möglichkeiten, und für die verbleibenden 5 mittleren Zeichen gibt es ebenfalls jeweils $62$ Möglichkeiten.

Die Gesamtzahl der möglichen Passwörter beträgt also:

$62 \times 62^5 = 62^6$

Das ergibt etwa:

$62^6 \approx 5.683 \times 10^9$

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d) 8 Ziffern, wobei führende und endende Nullen nicht erlaubt sind.

Für die erste und die letzte Ziffer gibt es jeweils $9$ Möglichkeiten (1 bis 9, da 0 nicht erlaubt ist). Für die restlichen 6 Ziffern gibt es $10$ Möglichkeiten (0 bis 9).

Die Gesamtzahl der möglichen Passwörter beträgt also:

$9 \times 10^6 \times 9 = 81,000,000$

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e) 11 Alphazeichen, wobei wenigstens eine Nichtziffer und eine Ziffer enthalten sein müssen.

Zunächst berechnen wir die Gesamtzahl aller möglichen 11-Zeichen-Kombinationen (ohne Einschränkungen):

• Für jedes Zeichen gibt es 62 Möglichkeiten (10 Ziffern und 52 Buchstaben).

Die Gesamtzahl beträgt:

$62^{11}$

Dies ergibt etwa:

$62^{11} \approx 6.188 \times 10^{19}$

Nun müssen wir die Kombinationen ausschließen, die entweder nur Ziffern oder nur Buchstaben enthalten:

• Nur Ziffern: $10^{11}$
• Nur Buchstaben (52): $52^{11}$

Die Gesamtzahl der ungültigen Passwörter beträgt:

$10^{11} + 52^{11}$

Das ergibt etwa:

$10^{11} \approx 10^{11}, \quad 52^{11} \approx 7.438 \times 10^{18}$

Nun ziehen wir diese ungültigen Kombinationen von der Gesamtmenge ab:

$62^{11} - (10^{11} + 52^{11}) = 6.188 \times 10^{19} - (10^{11} + 7.438 \times 10^{18})$

Das ergibt etwa:

$\approx 5.444 \times 10^{19}$

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Haben Sie Fragen oder möchten Sie Details zu einem Teil?

Hier sind einige verwandte Fragen, um Ihr Verständnis zu vertiefen:

1. Wie ändern sich die Ergebnisse, wenn bei Aufgabe a) führende Nullen erlaubt sind?
2. Was wäre die Anzahl der Passwörter in Aufgabe b), wenn Klein- und Großbuchstaben nicht unterschieden werden?
3. Wie ändert sich die Anzahl der Passwörter in Aufgabe c), wenn das erste und letzte Zeichen verschieden sein müssen?
4. Wie viele 6-stellige PINs gibt es, wenn führende Nullen erlaubt sind?
5. Wie viele Passwörter gäbe es in Aufgabe e), wenn keine weiteren Einschränkungen gelten?

Tipp: Beim Berechnen der Anzahl möglicher Kombinationen hilft es oft, die einzelnen Fälle (z. B. für die ersten und letzten Zeichen) getrennt zu betrachten.