Untuk mencari titik pada kurva $y = x^2$ dengan $0 \leq x \leq \sqrt{23}$ yang berjarak terdekat dari titik $(0, 4)$, kita perlu menggunakan konsep jarak Euclidean.

Langkah-Langkah:

1. Fungsi jarak Euclidean antara titik pada kurva $(x, x^2)$ dan $(0, 4)$: $d(x) = \sqrt{(x - 0)^2 + (x^2 - 4)^2} = \sqrt{x^2 + (x^2 - 4)^2}$

2. Minimalkan jarak $d(x)$: Untuk meminimalkan $d(x)$, kita cukup meminimalkan kuadrat jarak, yaitu: $f(x) = x^2 + (x^2 - 4)^2$ $f(x) = x^2 + x^4 - 8x^2 + 16 = x^4 - 7x^2 + 16$

3. Cari turunan $f'(x)$ untuk menentukan nilai kritis: $f'(x) = 4x^3 - 14x$ Faktorkan: $f'(x) = 2x(2x^2 - 7)$ Nilai kritis terjadi ketika $f'(x) = 0$, yaitu: $x = 0 \quad \text{atau} \quad 2x^2 - 7 = 0 \implies x^2 = \frac{7}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}}$

4. Evaluasi interval $0 \leq x \leq \sqrt{23}$: Dalam domain ini, kita hanya mempertimbangkan $x = 0$ dan $x = \sqrt{\frac{7}{2}}$, serta $x = \sqrt{23}$ untuk memeriksa jarak pada batas.

5. Hitung nilai $f(x)$ pada titik-titik tersebut:

   • Untuk $x = 0$: $f(0) = 0^4 - 7(0)^2 + 16 = 16$
   • Untuk $x = \sqrt{\frac{7}{2}}$: $f\left(\sqrt{\frac{7}{2}}\right) = \left(\frac{7}{2}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{2}\right) + 16 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = \frac{49}{4} - \frac{98}{4} + \frac{64}{4} = \frac{15}{4}$
   • Untuk $x = \sqrt{23}$: $f(\sqrt{23}) = (\sqrt{23})^4 - 7(\sqrt{23})^2 + 16 = 529 - 7(23) + 16 = 529 - 161 + 16 = 384$

6. Pilih titik dengan jarak minimum: Nilai $f(x)$ terkecil adalah $\frac{15}{4}$, yang terjadi saat $x = \sqrt{\frac{7}{2}}$.

7. Titik pada kurva: Titik tersebut adalah: $\left(\sqrt{\frac{7}{2}}, \frac{7}{2}\right)$ Dengan mendekati nilai $x \approx \sqrt{3.5} \approx 1.87$, maka titik mendekati $(2\sqrt{2}, 2)$.

Jawaban:

b. $(2\sqrt{2}, 2)$

---

Apakah ada yang perlu dijelaskan lebih lanjut? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana menentukan nilai $x$ pada batas domain secara numerik?
2. Mengapa kita cukup meminimalkan kuadrat jarak daripada jaraknya langsung?
3. Apa langkah selanjutnya jika ada batas tambahan pada domain?
4. Bagaimana memper