Para determinar se deve usar o Teorema do Limite Central (TLC) e como aplicá-lo, é necessário avaliar os seguintes critérios:

1. Condições para o uso do Teorema do Limite Central:

   • Quando estamos interessados na soma (ou média) de um grande número de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.).
   • O número de variáveis (neste caso, $n = 60$) deve ser suficientemente grande (regra geral: $n \geq 30$).
   • As variáveis $X_i$ possuem uma distribuição geométrica com média $\mu = \frac{1}{p} = 2.5$ e variância $\sigma^2 = \frac{1-p}{p^2} = 3.75$, que são finitas.

2. Aplicação do TLC neste problema:

   • Você quer calcular a probabilidade de que a soma total de ensaios $S = \sum_{i=1}^{60} X_i$ não exceda 135.
   • A soma de $n$ variáveis $X_i$ que seguem uma distribuição geométrica pode ser aproximada por uma distribuição normal devido ao TLC: $S \sim N(n\mu, n\sigma^2)$ Onde: $\mu = 2.5, \quad \sigma^2 = 3.75, \quad n = 60$ Assim, $S \sim N(150, 225)$.

3. Como calcular a probabilidade:

   • Normalizamos $S$ para usar a distribuição normal padrão: $Z = \frac{S - n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}$ Para $S = 135$: $Z = \frac{135 - 150}{\sqrt{225}} = \frac{-15}{15} = -1$
   • Agora, usando a tabela da normal padrão, a probabilidade $P(S \leq 135)$ é: $P(Z \leq -1) \approx 0.1587$

4. Resposta final:

   • A probabilidade aproximada é 0.1587, que corresponde à alternativa C.

Deseja mais detalhes sobre o cálculo ou como utilizar as tabelas de normal? Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. O que significa a normalização na distribuição normal padrão?
2. Como a variância afeta a aproximação do TLC?
3. Por que o TLC funciona apenas para somas de variáveis independentes?
4. Como calcular o desvio padrão a partir da variância?
5. Quando seria mais apropriado usar outra abordagem em vez do TLC?

Dica: Sempre verifique se o número de amostras $n$ é suficientemente grande e se as condições de independência e distribuição idêntica são satisfeitas antes de aplicar o TLC!