Diketahui bahwa kita memiliki fungsi kerapatan probabilitas $f(x) = 0.025x + 0.15$ untuk $2 \leq x \leq 6$. Tujuan kita adalah untuk menentukan fungsi peluang kumulatif (Cumulative Distribution Function, CDF) dari peubah acak $X$.

Langkah 1: Menyatakan Fungsi Peluang Kumulatif

Fungsi peluang kumulatif $F(x)$ adalah integral dari fungsi kerapatan peluang $f(x)$ dari batas bawah (2 dalam hal ini) hingga nilai tertentu $x$. Secara matematis, $F(x)$ dinyatakan sebagai:

$F(x) = \int_{2}^{x} f(t) \, dt$

Di mana $f(x) = 0.025x + 0.15$.

Langkah 2: Mengintegralkan Fungsi $f(x)$

Sekarang kita menghitung integral dari $f(x) = 0.025x + 0.15$:

$F(x) = \int_{2}^{x} (0.025t + 0.15) \, dt$

Langkah 3: Menghitung Integral

Mari kita menghitung integralnya:

$F(x) = \int_{2}^{x} 0.025t \, dt + \int_{2}^{x} 0.15 \, dt$

Menghitung integral pertama:

$\int 0.025t \, dt = 0.025 \cdot \frac{t^2}{2} = 0.0125t^2$

Menghitung integral kedua:

$\int 0.15 \, dt = 0.15t$

Langkah 4: Substitusi Batas

Sekarang kita substitusi batas dari $t = 2$ ke $t = x$:

$F(x) = \left[ 0.0125t^2 + 0.15t \right]_{2}^{x}$

Substitusi batas bawah dan atas:

$F(x) = \left( 0.0125x^2 + 0.15x \right) - \left( 0.0125(2)^2 + 0.15(2) \right)$

Hitung nilai untuk batas bawah $t = 2$:

$0.0125(2)^2 + 0.15(2) = 0.0125(4) + 0.3 = 0.05 + 0.3 = 0.35$

Langkah 5: Fungsi CDF

Jadi fungsi peluang kumulatif $F(x)$ adalah:

$F(x) = 0.0125x^2 + 0.15x - 0.35$

Untuk $2 \leq x \leq 6$, dan $F(x) = 0$ untuk $x < 2$ serta $F(x) = 1$ untuk $x > 6$.

Jadi, bentuk lengkap dari fungsi peluang kumulatif adalah:

\begin{cases} 0 & \text{jika } x < 2 \\ 0.0125x^2 + 0.15x - 0.35 & \text{jika } 2 \leq x \leq 6 \\ 1 & \text{jika } x > 6 \end{cases}$$ ### Apakah ada pertanyaan atau ingin penjelasan lebih lanjut? Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa memperdalam pemahaman Anda: 1. Bagaimana cara memverifikasi bahwa $$f(x)$$ adalah fungsi kerapatan peluang yang valid? 2. Apa interpretasi geometris dari fungsi peluang kumulatif $$F(x)$$? 3. Bagaimana cara menghitung peluang bahwa $$X$$ berada dalam interval tertentu, misalnya $$3 \leq X \leq 5$$? 4. Apa yang terjadi pada fungsi peluang kumulatif jika interval variabel acak diperpanjang? 5. Bagaimana cara menghitung nilai harapan (ekspektasi) dari peubah acak $$X$$ berdasarkan $$f(x)$$? **Tip**: Integral dari fungsi kerapatan peluang selalu harus bernilai 1 di seluruh domain variabel acak agar memenuhi sifat dasar probabilitas.