Di laboratorium teknik elektronik, arus dalam suatu rangkaian diukur menggunakan amperemeter. Karena beberapa faktor acak, pengukuran X bervariasi. Catatan sebelumnya menunjukkan bahwa arus bervariasi sepanjang interval 2-6 tetapi tidak seragam. Nilai X yang lebih tinggi memiliki probabilitas kejadian yang lebih tinggi. Telah ditemukan bahwa model yang baik untuk data diwakili oleh fungsi kerapatan probabilitas berikut:

f(x) = 0,025x+0,15, 2 x 6 = 0 jika                                                    Tentukan fungsi peluang komulatif dari peubah acak X

Diketahui bahwa kita memiliki fungsi kerapatan probabilitas \( f(x) = 0.025x + 0.15 \) untuk \( 2 \leq x \leq 6 \). Tujuan kita adalah untuk menentukan fungsi peluang kumulatif (Cumulative Distribution Function, CDF) dari peubah acak \( X \).

### Langkah 1: Menyatakan Fungsi Peluang Kumulatif
Fungsi peluang kumulatif \( F(x) \) adalah integral dari fungsi kerapatan peluang \( f(x) \) dari batas bawah (2 dalam hal ini) hingga nilai tertentu \( x \). Secara matematis, \( F(x) \) dinyatakan sebagai:

\[
F(x) = \int_{2}^{x} f(t) \, dt
\]

Di mana \( f(x) = 0.025x + 0.15 \).

### Langkah 2: Mengintegralkan Fungsi \( f(x) \)
Sekarang kita menghitung integral dari \( f(x) = 0.025x + 0.15 \):

\[
F(x) = \int_{2}^{x} (0.025t + 0.15) \, dt
\]

### Langkah 3: Menghitung Integral
Mari kita menghitung integralnya:

\[
F(x) = \int_{2}^{x} 0.025t \, dt + \int_{2}^{x} 0.15 \, dt
\]

#### Menghitung integral pertama:
\[
\int 0.025t \, dt = 0.025 \cdot \frac{t^2}{2} = 0.0125t^2
\]

#### Menghitung integral kedua:
\[
\int 0.15 \, dt = 0.15t
\]

### Langkah 4: Substitusi Batas
Sekarang kita substitusi batas dari \( t = 2 \) ke \( t = x \):

\[
F(x) = \left[ 0.0125t^2 + 0.15t \right]_{2}^{x}
\]

#### Substitusi batas bawah dan atas:

\[
F(x) = \left( 0.0125x^2 + 0.15x \right) - \left( 0.0125(2)^2 + 0.15(2) \right)
\]

#### Hitung nilai untuk batas bawah \( t = 2 \):

\[
0.0125(2)^2 + 0.15(2) = 0.0125(4) + 0.3 = 0.05 + 0.3 = 0.35
\]

### Langkah 5: Fungsi CDF
Jadi fungsi peluang kumulatif \( F(x) \) adalah:

\[
F(x) = 0.0125x^2 + 0.15x - 0.35
\]

Untuk \( 2 \leq x \leq 6 \), dan \( F(x) = 0 \) untuk \( x < 2 \) serta \( F(x) = 1 \) untuk \( x > 6 \).

Jadi, bentuk lengkap dari fungsi peluang kumulatif adalah:

\[
F(x) =
\begin{cases}
0 & \text{jika } x < 2 \\
0.0125x^2 + 0.15x - 0.35 & \text{jika } 2 \leq x \leq 6 \\
1 & \text{jika } x > 6
\end{cases}
\]

### Apakah ada pertanyaan atau ingin penjelasan lebih lanjut?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa memperdalam pemahaman Anda:
1. Bagaimana cara memverifikasi bahwa \( f(x) \) adalah fungsi kerapatan peluang yang valid?
2. Apa interpretasi geometris dari fungsi peluang kumulatif \( F(x) \)?
3. Bagaimana cara menghitung peluang bahwa \( X \) berada dalam interval tertentu, misalnya \( 3 \leq X \leq 5 \)?
4. Apa yang terjadi pada fungsi peluang kumulatif jika interval variabel acak diperpanjang?
5. Bagaimana cara menghitung nilai harapan (ekspektasi) dari peubah acak \( X \) berdasarkan \( f(x) \)?

**Tip**: Integral dari fungsi kerapatan peluang selalu harus bernilai 1 di seluruh domain variabel acak agar memenuhi sifat dasar probabilitas.

Di laboratorium teknik elektronik, arus dalam suatu rangkaian diukur menggunakan amperemeter. Karena beberapa faktor acak, pengukuran X bervariasi. Catatan sebelumnya menunjukkan bahwa arus bervariasi sepanjang interval 2-6 tetapi tidak seragam. Nilai X yang lebih tinggi memiliki probabilitas kejadian yang lebih tinggi. Telah ditemukan bahwa model yang baik untuk data diwakili oleh fungsi kerapatan probabilitas berikut: f(x) = 0,025x+0,15, 2 ≤ x ≤ 6. Tentukan fungsi peluang komulatif dari peubah acak X.

Determine the cumulative distribution function (CDF) for a non-uniform probability density function representing current measurements in an electrical circuit. Learn how to integrate the probability density function f(x) = 0.025x + 0.15 for the interval 2 ≤ x ≤ 6, applying integral calculus to find the CDF. Suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation