Låt oss bestämma kardinaliteterna av mängderna $X$, $Y$ och $Z$ och undersöka om några av mängderna har samma kardinalitet.

(a) $X = \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

Mängden $X$ är en kartesisk produkt av de naturliga talen med sig självt, det vill säga alla par $(n, m)$ där $n, m \in \mathbb{N}$. Eftersom $\mathbb{N}$ har kardinaliteten $\aleph_0$, och produkten av två mängder med kardinalitet $\aleph_0$ också har kardinaliteten $\aleph_0$, får vi:

$|X| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = \aleph_0.$

(b) $Y = \{ f : \mathbb{N} \to \{0, 1\} \}$

Mängden $Y$ består av alla funktioner från de naturliga talen $\mathbb{N}$ till mängden $\{0, 1\}$. Varje funktion kan ses som en oändlig sekvens av 0:or och 1:or. Antalet sådana sekvenser motsvarar kardinaliteten av mängden av alla binära strängar av oändlig längd, vilket är samma som kardinaliteten för mängden av reella tal $\mathbb{R}$.

$|Y| = 2^{\aleph_0} = |\mathbb{R}|.$

(c) $Z = \{ f : \{0, 1\} \to \mathbb{N} \}$

Mängden $Z$ består av alla funktioner från mängden $\{0, 1\}$ till $\mathbb{N}$. Det finns två möjliga värden i definitionsmängden ({0, 1}), och varje värde kan mappas till vilket naturligt tal som helst. Eftersom det finns $\aleph_0$ möjligheter för varje värde i definitionsmängden, och vi har två oberoende värden som kan mappas till något av dessa, får vi:

$|Z| = \mathbb{N} \times \mathbb{N} = \aleph_0.$

Jämförelse av kardinaliteter

• $|X| = \aleph_0$
• $|Y| = |\mathbb{R}| = 2^{\aleph_0}$
• $|Z| = \aleph_0$

Slutsats: Mängderna $X$ och $Z$ har samma kardinalitet $\aleph_0$, medan $Y$ har en större kardinalitet $2^{\aleph_0}$.

---

Vill du ha en fördjupning eller har du några frågor?

Här är fem relaterade frågor som utökar informationen:

1. Vad är skillnaden mellan uppräkneliga och överuppräkneliga mängder?
2. Hur bevisar man att mängden av alla reella tal har kardinaliteten $2^{\aleph_0}$?
3. Vad innebär det att två mängder har samma kardinalitet?
4. Hur kan vi bestämma kardinaliteten av produkten av två oändliga mängder?
5. Kan vi ha en mängd med kardinaliteten större än $|\mathbb{R}|$?

Tips: När man hanterar oändliga mängder är det viktigt att skilja mellan uppräkneliga (t.ex. $\mathbb{N}$) och överuppräkneliga (t.ex. $\mathbb{R}$) kardinaliteter.