Tehtävässä on kyseessä tilanne, jossa ympyröiden muodostama rakenne on sidottu yhteen hihnalla, ja hihnan pituus on laskettava. Keskimmäinen ympyrä, jonka säde on $r=7$, on ympäröity kahdeksalla pienemmällä ympyrällä. Lasketaan ensin pienempien ympyröiden säde ja sitten hihnan pituus.

Vaihe 1: Pienempien ympyröiden säteen laskeminen

Keskimmäisen ympyrän säde on $r=7$, ja pienemmät ympyrät ovat sen ympärillä symmetrisesti. Jokaisen pienemmän ympyrän säde $r_s$ voidaan laskea kaavalla, joka perustuu ympyröiden geometriseen asetteluun:

$r_s = \frac{r}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$

Vaihe 2: Hihnan pituuden laskeminen

Hihnan pituus koostuu kahdesta osasta:

1. Keskimmäisen ympyrän ympärys.
2. Kahdeksan pienemmän ympyrän ympärys.

Keskimmäisen ympyrän ympärys

Keskimmäisen ympyrän ympärys lasketaan kaavalla: $C_{\text{keski}} = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 7 = 14 \pi$

Pienempien ympyröiden ympäryksen osuus

Kahdeksan pienemmän ympyrän yhteenlaskettu ympärys on: $C_{\text{pienet}} = 8 \cdot 2 \pi r_s = 8 \cdot 2 \pi \cdot 3.5 = 56 \pi$

Vaihe 3: Kokonaispituuden laskeminen

Hihnan kokonaispituus on näiden kahden osan summa: $L = C_{\text{keski}} + C_{\text{pienet}} = 14 \pi + 56 \pi = 70 \pi$

Vaihe 4: Hihnan pituuden arviointi

Pyöristetään tulos yhden desimaalin tarkkuuteen: $L = 70 \pi \approx 219.9$

Vastaus:

Hihnan pituus on 219.9 yksikköä.

Haluatko tarkempia perusteluja tai lisätietoa?

Lisäkysymyksiä:

1. Miten hihnan pituus muuttuu, jos keskimmäisen ympyrän säde kasvaa?
2. Voiko pienempien ympyröiden määrä olla jokin muu kuin kahdeksan tässä asetelmassa?
3. Miten laskut muuttuisivat, jos ympyrät eivät olisi kiinni toisissaan?
4. Miksi $r_s = \frac{r}{2}$ pätee tässä asetelmassa?
5. Miten tällainen geometrinen rakenne voidaan toteuttaa käytännössä?

Vinkki:

Piirin pituutta laskettaessa $\pi$-termiä ei kannata arvioida liian aikaisin, jotta vältytään pyöristysvirheiltä.