Nous avons un problème sur la progression du salaire de Jeanne, qui augmente de 4 % chaque année. Pour résoudre cette situation, nous allons répondre à chaque question de manière progressive.

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a. Donner la valeur de $U_1$

Le salaire de Jeanne la première année est donné par $U_1 = 1500 \,€$.

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b. Calculer $U_2$, $U_3$ et $U_4$

Le salaire augmente de 4 % chaque année. Cela signifie que chaque salaire de l'année suivante est 104 % du salaire de l'année précédente, soit un coefficient multiplicateur de 1,04.

Ainsi :

• $U_2 = U_1 \times 1,04 = 1500 \times 1,04 = 1560 \,€$
• $U_3 = U_2 \times 1,04 = 1560 \times 1,04 = 1622,4 \,€$
• $U_4 = U_3 \times 1,04 = 1622,4 \times 1,04 = 1687,3 \,€$ (arrondi au dixième)

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c. Donner la nature de la suite en précisant son terme et sa raison

La suite des salaires $(U_n)$ est une suite géométrique car chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même coefficient (le rapport constant).

• Le premier terme de la suite est $U_1 = 1500 \,€$.
• La raison de la suite est $q = 1,04$ (augmentation de 4 %).

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d. Exprimer $U_n$ en fonction de $n$

Dans une suite géométrique, un terme général $U_n$ est donné par la formule :

$U_n = U_1 \times q^{n-1}$

Dans notre cas : $U_n = 1500 \times (1,04)^{n-1}$

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e. Calculer son salaire la 10ème année

Pour la 10ème année, nous devons calculer $U_{10}$.

$U_{10} = 1500 \times (1,04)^{9}$

Calculons cela.

$U_{10} \approx 1500 \times 1,432 \approx 2148,05 \,€$

Le salaire de Jeanne la 10ème année sera d'environ 2148,05 €.

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Questions complémentaires :

1. Quelle serait la valeur de $U_5$ ?
2. Comment modifier la formule si l'augmentation annuelle est de 5 % au lieu de 4 % ?
3. Comment calculer le salaire total sur 10 ans, en additionnant tous les $U_n$ ?
4. Comment la suite changerait-elle si l'augmentation était de 4 % tous les deux ans ?
5. Si Jeanne obtenait un bonus annuel fixe de 100 €, comment la formule serait-elle affectée ?

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Tip :

Dans une suite géométrique, le rapport constant entre les termes est essentiel pour prévoir les futurs termes de la suite.