Jeanne est embauchée dans un magasin de vêtements. Elle gagne 1500€ par mois la première année. Elle sera augmentée de 4% par an.
On appelle U1 le salaire de la première année, U2 le salaire de la deuxième année, ..., "Un" le salaire de la Nème année.

a. donner la valeur de U1
b. calculer U2, U3 et U4
c. donner la nature de la suite en précisant son terme et sa raison
d. Exprimer "Un" en fonction n
e. calculer son salaire la 10ème année


Nous avons un problème sur la progression du salaire de Jeanne, qui augmente de 4 % chaque année. Pour résoudre cette situation, nous allons répondre à chaque question de manière progressive.

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**a. Donner la valeur de \( U_1 \)**

Le salaire de Jeanne la première année est donné par \( U_1 = 1500 \,€ \).

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**b. Calculer \( U_2 \), \( U_3 \) et \( U_4 \)**

Le salaire augmente de 4 % chaque année. Cela signifie que chaque salaire de l'année suivante est 104 % du salaire de l'année précédente, soit un coefficient multiplicateur de 1,04.

Ainsi :
- \( U_2 = U_1 \times 1,04 = 1500 \times 1,04 = 1560 \,€ \)
- \( U_3 = U_2 \times 1,04 = 1560 \times 1,04 = 1622,4 \,€ \)
- \( U_4 = U_3 \times 1,04 = 1622,4 \times 1,04 = 1687,3 \,€ \) (arrondi au dixième)

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**c. Donner la nature de la suite en précisant son terme et sa raison**

La suite des salaires \( (U_n) \) est une suite **géométrique** car chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un même coefficient (le rapport constant).

- Le **premier terme** de la suite est \( U_1 = 1500 \,€ \).
- La **raison** de la suite est \( q = 1,04 \) (augmentation de 4 %).

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**d. Exprimer \( U_n \) en fonction de \( n \)**

Dans une suite géométrique, un terme général \( U_n \) est donné par la formule :

\[
U_n = U_1 \times q^{n-1}
\]

Dans notre cas :
\[
U_n = 1500 \times (1,04)^{n-1}
\]

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**e. Calculer son salaire la 10ème année**

Pour la 10ème année, nous devons calculer \( U_{10} \).

\[
U_{10} = 1500 \times (1,04)^{9}
\]

Calculons cela.

\[
U_{10} \approx 1500 \times 1,432 \approx 2148,05 \,€
\]

Le salaire de Jeanne la 10ème année sera d'environ **2148,05 €**.

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### Questions complémentaires :

1. Quelle serait la valeur de \( U_5 \) ?
2. Comment modifier la formule si l'augmentation annuelle est de 5 % au lieu de 4 % ?
3. Comment calculer le salaire total sur 10 ans, en additionnant tous les \( U_n \) ?
4. Comment la suite changerait-elle si l'augmentation était de 4 % tous les deux ans ?
5. Si Jeanne obtenait un bonus annuel fixe de 100 €, comment la formule serait-elle affectée ?

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### Tip :
Dans une suite géométrique, le rapport constant entre les termes est essentiel pour prévoir les futurs termes de la suite.

Jeanne est embauchée dans un magasin de vêtements. Elle gagne 1500€ par mois la première année. Elle sera augmentée de 4% par an. On appelle U1 le salaire de la première année, U2 le salaire de la deuxième année, ..., Un le salaire de la Nème année.

a. donner la valeur de U1
b. calculer U2, U3 et U4
c. donner la nature de la suite en précisant son terme et sa raison
d. Exprimer Un en fonction n
e. calculer son salaire la 10ème année

Learn how to calculate salary progression with a 4% annual increase using geometric sequences. Starting with a monthly salary of 1500€, discover how to compute U2, U3, U4, and express Un in function of n. This detailed guide also explains how to calculate Jeanne's salary in the 10th year, which is approximately 2148.05€.

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