Misalkan l adalah panjang diagonal segiempat dengan sisi-sisinya x dan y. Asumsikan x dan y sebagai fungsi dari waktu.
a. Bagaimana hubungan dl/dt, dx/dt, dan dy/dt?
b. Jika x bertambah dengan laju 1/2 cm/s dan y berkurang dengan laju 1/4 cm/s, berapa cepat ukuran diagonal berubah jika x = 3 cm dan y = 4 cm? Apakah diagonal bertambah atau berkurang pada saat itu?

Diberikan bahwa \( l \) adalah panjang diagonal dari sebuah segiempat dengan sisi-sisinya \( x \) dan \( y \), di mana \( x \) dan \( y \) merupakan fungsi dari waktu \( t \). Kita akan mencari hubungan antara laju perubahan diagonal \( \frac{dl}{dt} \) dengan laju perubahan sisi-sisi segiempat \( \frac{dx}{dt} \) dan \( \frac{dy}{dt} \).

### Bagian a: Hubungan antara \( \frac{dl}{dt} \), \( \frac{dx}{dt} \), dan \( \frac{dy}{dt} \)

Diagonal \( l \) dari segiempat dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras:

\[
l = \sqrt{x^2 + y^2}
\]

Untuk mendapatkan hubungan antara \( \frac{dl}{dt} \), \( \frac{dx}{dt} \), dan \( \frac{dy}{dt} \), kita lakukan diferensiasi terhadap \( l \) sehubungan dengan waktu \( t \) menggunakan aturan rantai.

\[
\frac{dl}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dt}
\]

\[
\frac{dl}{dt} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dt}
\]

Jadi, hubungan antara \( \frac{dl}{dt} \), \( \frac{dx}{dt} \), dan \( \frac{dy}{dt} \) adalah:

\[
\frac{dl}{dt} = \frac{x}{l} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{y}{l} \cdot \frac{dy}{dt}
\]

### Bagian b: Menghitung laju perubahan diagonal

Diketahui bahwa:
- \( \frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \) cm/s (x bertambah),
- \( \frac{dy}{dt} = -\frac{1}{4} \) cm/s (y berkurang),
- \( x = 3 \) cm dan \( y = 4 \) cm.

Pertama-tama, hitung panjang diagonal \( l \) saat \( x = 3 \) cm dan \( y = 4 \) cm:

\[
l = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
\]

Sekarang, substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus \( \frac{dl}{dt} \):

\[
\frac{dl}{dt} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)
\]

Hitung tiap bagian:

\[
\frac{dl}{dt} = \frac{3}{10} + \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{10} - \frac{1}{5}
\]

Samakan penyebut:

\[
\frac{dl}{dt} = \frac{3}{10} - \frac{2}{10} = \frac{1}{10} \, \text{cm/s}
\]

Jadi, laju perubahan diagonal \( l \) adalah \( \frac{1}{10} \) cm/s, dan karena nilainya positif, diagonal bertambah.

### Kesimpulan:
Pada saat \( x = 3 \) cm dan \( y = 4 \) cm, diagonal segiempat bertambah dengan laju \( \frac{1}{10} \) cm/s.

Ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?  
Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana jika \( x \) dan \( y \) bertambah secara bersamaan?
2. Apa yang terjadi jika \( \frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} = 0 \)?
3. Bagaimana jika \( x = y \) (persegi)?
4. Bagaimana menghitung perubahan luas segiempat berdasarkan \( \frac{dx}{dt} \) dan \( \frac{dy}{dt} \)?
5. Bagaimana laju perubahan \( l \) dipengaruhi oleh perubahan yang sangat kecil pada \( x \) dan \( y \)?

**Tip:** Dalam persamaan yang melibatkan beberapa variabel waktu, gunakan selalu aturan rantai untuk mendiferensiasikan variabel-variabel tersebut dengan tepat.

Misalkan l adalah panjang diagonal segiempat dengan sisi-sisinya x dan y. Asumsikan x dan y sebagai fungsi dari waktu. a. Bagaimana hubungan dl/dt, dx/dt, dan dy/dt? b. Jika x bertambah dengan laju 1/2 cm/s dan y berkurang dengan laju 1/4 cm/s, berapa cepat ukuran diagonal berubah jika x = 3 cm dan y = 4 cm? Apakah diagonal bertambah atau berkurang pada saat itu?

Explore how to find the rate of change of a diagonal in a quadrilateral with sides x and y, given their rates of change over time. This problem involves calculus concepts such as related rates and differentiation, as well as the Pythagorean theorem. Suitable for Grades 11-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation