Diberikan bahwa $l$ adalah panjang diagonal dari sebuah segiempat dengan sisi-sisinya $x$ dan $y$, di mana $x$ dan $y$ merupakan fungsi dari waktu $t$. Kita akan mencari hubungan antara laju perubahan diagonal $\frac{dl}{dt}$ dengan laju perubahan sisi-sisi segiempat $\frac{dx}{dt}$ dan $\frac{dy}{dt}$.

Bagian a: Hubungan antara $\frac{dl}{dt}$, $\frac{dx}{dt}$, dan $\frac{dy}{dt}$

Diagonal $l$ dari segiempat dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras:

$l = \sqrt{x^2 + y^2}$

Untuk mendapatkan hubungan antara $\frac{dl}{dt}$, $\frac{dx}{dt}$, dan $\frac{dy}{dt}$, kita lakukan diferensiasi terhadap $l$ sehubungan dengan waktu $t$ menggunakan aturan rantai.

$\frac{dl}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2x \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dt}$

$\frac{dl}{dt} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{dy}{dt}$

Jadi, hubungan antara $\frac{dl}{dt}$, $\frac{dx}{dt}$, dan $\frac{dy}{dt}$ adalah:

$\frac{dl}{dt} = \frac{x}{l} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{y}{l} \cdot \frac{dy}{dt}$

Bagian b: Menghitung laju perubahan diagonal

Diketahui bahwa:

• $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2}$ cm/s (x bertambah),
• $\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{4}$ cm/s (y berkurang),
• $x = 3$ cm dan $y = 4$ cm.

Pertama-tama, hitung panjang diagonal $l$ saat $x = 3$ cm dan $y = 4$ cm:

$l = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}$

Sekarang, substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus $\frac{dl}{dt}$:

$\frac{dl}{dt} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)$

Hitung tiap bagian:

$\frac{dl}{dt} = \frac{3}{10} + \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{10} - \frac{1}{5}$

Samakan penyebut:

$\frac{dl}{dt} = \frac{3}{10} - \frac{2}{10} = \frac{1}{10} \, \text{cm/s}$

Jadi, laju perubahan diagonal $l$ adalah $\frac{1}{10}$ cm/s, dan karena nilainya positif, diagonal bertambah.

Kesimpulan:

Pada saat $x = 3$ cm dan $y = 4$ cm, diagonal segiempat bertambah dengan laju $\frac{1}{10}$ cm/s.

Ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?
Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana jika $x$ dan $y$ bertambah secara bersamaan?
2. Apa yang terjadi jika $\frac{dx}{dt} = \frac{dy}{dt} = 0$?
3. Bagaimana jika $x = y$ (persegi)?
4. Bagaimana menghitung perubahan luas segiempat berdasarkan $\frac{dx}{dt}$ dan $\frac{dy}{dt}$?
5. Bagaimana laju perubahan $l$ dipengaruhi oleh perubahan yang sangat kecil pada $x$ dan $y$?

Tip: Dalam persamaan yang melibatkan beberapa variabel waktu, gunakan selalu aturan rantai untuk mendiferensiasikan variabel-variabel tersebut dengan tepat.