Vamos a resolver cada una de las partes del ejercicio paso a paso.

1) Calcular $S_6$

Dado que tenemos la serie $\sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)^n,$ vemos que se trata de una serie geométrica de la forma $\sum_{n=1}^{\infty} a r^n,$ donde el primer término es $a = 2 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)$ y la razón común es $r = -\frac{5}{7}$.

La n-ésima suma parcial $S_n$ de una serie geométrica se calcula con la fórmula: $S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}.$ Para este caso:

• $a = 2$,
• $r = -\frac{5}{7}$,
• $n = 6$.

Entonces, $S_6 = 2 \cdot \frac{1 - \left(-\frac{5}{7}\right)^6}{1 - \left(-\frac{5}{7}\right)}.$

Ahora calcularemos este valor:

1. Calculamos $\left(-\frac{5}{7}\right)^6$.
2. Calculamos $1 - \left(-\frac{5}{7}\right)^6$.
3. Finalmente, aplicamos la fórmula.

Realizando estos cálculos:

1. $\left(-\frac{5}{7}\right)^6 = \frac{15625}{117649}$,
2. $1 - \frac{15625}{117649} = \frac{102024}{117649}$,
3. $S_6 = 2 \cdot \frac{\frac{102024}{117649}}{1 + \frac{5}{7}} = 2 \cdot \frac{102024}{117649} \cdot \frac{7}{12} = \frac{11969584}{1411788} \approx 8.48.$

Así que, $S_6 \approx 8.48.$

2) Determinar la suma infinita

Para una serie geométrica infinita donde $|r| < 1$, la suma infinita es $\sum_{n=1}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r}.$ Usando $a = 2$ y $r = -\frac{5}{7}$, tenemos $\sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)^n = \frac{2}{1 - \left(-\frac{5}{7}\right)} = \frac{2}{1 + \frac{5}{7}} = \frac{2}{\frac{12}{7}} = \frac{2 \cdot 7}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}.$

Por lo tanto, $\sum_{n=1}^{\infty} 2 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right)^n = \frac{7}{6}.$

¿Te gustaría profundizar en algún paso o resolver otra parte del ejercicio?

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Tip: Las series geométricas son especialmente útiles en problemas de financiamiento y crecimiento exponencial donde los valores siguen una proporción constante.