Soal yang Anda unggah berisi tiga limit yang perlu dihitung. Mari kita selesaikan masing-masing soal:

a. $\lim_{{x \to 3}} \frac{2 - \sqrt{x^2 - 5}}{x - 3}$

1. Substitusi langsung $x = 3$ akan menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$. Oleh karena itu, kita perlu mencoba merasionalkan pembilang.

   Langkahnya adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugat dari pembilang, yaitu $2 + \sqrt{x^2 - 5}$:

   $\lim_{{x \to 3}} \frac{(2 - \sqrt{x^2 - 5})(2 + \sqrt{x^2 - 5})}{(x - 3)(2 + \sqrt{x^2 - 5})}$

2. Dengan menggunakan identitas $a^2 - b^2$, pembilang menjadi:

   $(2)^2 - (\sqrt{x^2 - 5})^2 = 4 - (x^2 - 5) = 9 - x^2$

   Sehingga limitnya menjadi:

   $\lim_{{x \to 3}} \frac{9 - x^2}{(x - 3)(2 + \sqrt{x^2 - 5})}$

   Faktor pembilang $9 - x^2$ menjadi:

   $(3 - x)(3 + x)$

   Jadi, ekspresi limit berubah menjadi:

   $\lim_{{x \to 3}} \frac{(3 - x)(3 + x)}{(x - 3)(2 + \sqrt{x^2 - 5})}$

3. Faktorkan $(3 - x)$ menjadi $-(x - 3)$, sehingga ekspresinya disederhanakan menjadi:

   $\lim_{{x \to 3}} \frac{-(x - 3)(3 + x)}{(x - 3)(2 + \sqrt{x^2 - 5})}$

   Coret $(x - 3)$ dari pembilang dan penyebut, sehingga limitnya berubah menjadi:

   $\lim_{{x \to 3}} \frac{-(3 + x)}{2 + \sqrt{x^2 - 5}}$

4. Substitusi $x = 3$ ke ekspresi ini menghasilkan:

   $\frac{-(3 + 3)}{2 + \sqrt{9 - 5}} = \frac{-6}{2 + 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$

Jadi, hasilnya adalah: $\lim_{{x \to 3}} \frac{2 - \sqrt{x^2 - 5}}{x - 3} = -\frac{3}{2}$

b. $\lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{x+5}{x} \right)^{2x}$

1. Ekspresi di dalam limit dapat disederhanakan:

   $\frac{x+5}{x} = 1 + \frac{5}{x}$

   Jadi limitnya menjadi:

   $\lim_{{x \to \infty}} \left( 1 + \frac{5}{x} \right)^{2x}$

2. Bentuk ini menyerupai limit terkenal $\lim_{{n \to \infty}} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = e^a$. Dengan $a = 5$, hasil limitnya adalah:

   $e^{10}$

Jadi, hasil dari limit ini adalah: $\lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{x+5}{x} \right)^{2x} = e^{10}$

c. $\lim_{{x \to 0}} \frac{x + \sin(2x)}{5x}$

1. Substitusi langsung $x = 0$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$, jadi kita perlu menerapkan aturan L'Hopital.

2. Differensiasi pembilang dan penyebut:

   • Turunan dari $x + \sin(2x)$ adalah $1 + 2\cos(2x)$.
   • Turunan dari $5x$ adalah 5.

   Jadi, limitnya menjadi:

   $\lim_{{x \to 0}} \frac{1 + 2\cos(2x)}{5}$

3. Substitusi $x = 0$ menghasilkan:

   $\frac{1 + 2\cos(0)}{5} = \frac{1 + 2(1)}{5} = \frac{3}{5}$

Jadi, hasilnya adalah: $\lim_{{x \to 0}} \frac{x + \sin(2x)}{5x} = \frac{3}{5}$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya?

Pertanyaan terkait:

1. Apa itu aturan L'Hopital dan kapan digunakan?
2. Bagaimana cara merasionalkan pembilang dalam limit?
3. Apa saja bentuk tak tentu dalam limit?
4. Bagaimana hubungan limit dengan fungsi eksponensial seperti $e$?
5. Mengapa substitusi langsung terkadang menghasilkan bentuk tak tentu?

Tip: Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, pertimbangkan menggunakan aturan L'Hopital, faktorisasi, atau trik aljabar lainnya.