https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726043533321oowzknqj.jpg

Soal yang Anda unggah berisi tiga limit yang perlu dihitung. Mari kita selesaikan masing-masing soal:

### a. \(\lim_{{x \to 3}} \frac{2 - \sqrt{x^2 - 5}}{x - 3}\)

1. Substitusi langsung \(x = 3\) akan menghasilkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\). Oleh karena itu, kita perlu mencoba merasionalkan pembilang.
   
   Langkahnya adalah mengalikan pembilang dan penyebut dengan ekspresi konjugat dari pembilang, yaitu \(2 + \sqrt{x^2 - 5}\):

   \[
   \lim_{{x \to 3}} \frac{(2 - \sqrt{x^2 - 5})(2 + \sqrt{x^2 - 5})}{(x - 3)(2 + \sqrt{x^2 - 5})}
   \]

2. Dengan menggunakan identitas \(a^2 - b^2\), pembilang menjadi:

   \[
   (2)^2 - (\sqrt{x^2 - 5})^2 = 4 - (x^2 - 5) = 9 - x^2
   \]

   Sehingga limitnya menjadi:

   \[
   \lim_{{x \to 3}} \frac{9 - x^2}{(x - 3)(2 + \sqrt{x^2 - 5})}
   \]

   Faktor pembilang \(9 - x^2\) menjadi:

   \[
   (3 - x)(3 + x)
   \]

   Jadi, ekspresi limit berubah menjadi:

   \[
   \lim_{{x \to 3}} \frac{(3 - x)(3 + x)}{(x - 3)(2 + \sqrt{x^2 - 5})}
   \]

3. Faktorkan \((3 - x)\) menjadi \(-(x - 3)\), sehingga ekspresinya disederhanakan menjadi:

   \[
   \lim_{{x \to 3}} \frac{-(x - 3)(3 + x)}{(x - 3)(2 + \sqrt{x^2 - 5})}
   \]

   Coret \((x - 3)\) dari pembilang dan penyebut, sehingga limitnya berubah menjadi:

   \[
   \lim_{{x \to 3}} \frac{-(3 + x)}{2 + \sqrt{x^2 - 5}}
   \]

4. Substitusi \(x = 3\) ke ekspresi ini menghasilkan:

   \[
   \frac{-(3 + 3)}{2 + \sqrt{9 - 5}} = \frac{-6}{2 + 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}
   \]

Jadi, hasilnya adalah:
\[
\lim_{{x \to 3}} \frac{2 - \sqrt{x^2 - 5}}{x - 3} = -\frac{3}{2}
\]

---

### b. \(\lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{x+5}{x} \right)^{2x}\)

1. Ekspresi di dalam limit dapat disederhanakan:

   \[
   \frac{x+5}{x} = 1 + \frac{5}{x}
   \]

   Jadi limitnya menjadi:

   \[
   \lim_{{x \to \infty}} \left( 1 + \frac{5}{x} \right)^{2x}
   \]

2. Bentuk ini menyerupai limit terkenal \(\lim_{{n \to \infty}} \left( 1 + \frac{a}{n} \right)^n = e^a\). Dengan \(a = 5\), hasil limitnya adalah:

   \[
   e^{10}
   \]

Jadi, hasil dari limit ini adalah:
\[
\lim_{{x \to \infty}} \left( \frac{x+5}{x} \right)^{2x} = e^{10}
\]

---

### c. \(\lim_{{x \to 0}} \frac{x + \sin(2x)}{5x}\)

1. Substitusi langsung \(x = 0\) menghasilkan bentuk \(\frac{0}{0}\), jadi kita perlu menerapkan aturan L'Hopital.

2. Differensiasi pembilang dan penyebut:

   - Turunan dari \(x + \sin(2x)\) adalah \(1 + 2\cos(2x)\).
   - Turunan dari \(5x\) adalah 5.

   Jadi, limitnya menjadi:

   \[
   \lim_{{x \to 0}} \frac{1 + 2\cos(2x)}{5}
   \]

3. Substitusi \(x = 0\) menghasilkan:

   \[
   \frac{1 + 2\cos(0)}{5} = \frac{1 + 2(1)}{5} = \frac{3}{5}
   \]

Jadi, hasilnya adalah:
\[
\lim_{{x \to 0}} \frac{x + \sin(2x)}{5x} = \frac{3}{5}
\]

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya?

**Pertanyaan terkait:**
1. Apa itu aturan L'Hopital dan kapan digunakan?
2. Bagaimana cara merasionalkan pembilang dalam limit?
3. Apa saja bentuk tak tentu dalam limit?
4. Bagaimana hubungan limit dengan fungsi eksponensial seperti \(e\)?
5. Mengapa substitusi langsung terkadang menghasilkan bentuk tak tentu?

**Tip:** Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, pertimbangkan menggunakan aturan L'Hopital, faktorisasi, atau trik aljabar lainnya.

Hitunglah limit berikut: a. lim (x → 3) (2 - √(x² - 5)) / (x - 3), b. lim (x → ∞) ((x + 5) / x) ^ (2x), c. lim (x → 0) (x + sin(2x)) / 5x

Learn how to calculate limits involving algebraic manipulation, L'Hopital's rule, and exponential forms. This detailed step-by-step guide covers three calculus problems, ideal for advanced high school or undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation