Để tính đạo hàm của hàm hợp $w = \frac{x}{x^2 + y^2}$ với các biến $x = t \cos(u)$ và $y = t \sin(u)$, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp (chain rule) theo các biến $t$ và $u$.

Các bước giải:

1. Viết lại hàm $w$:

   $w = \frac{x}{x^2 + y^2}$ Trong đó:

   • $x = t \cos(u)$
   • $y = t \sin(u)$

2. Tính đạo hàm của $w$ theo $t$ và $u$:

   Để tìm đạo hàm của $w$ theo $t$ và $u$, ta cần tính đạo hàm riêng của $w$ theo $t$ và $u$ sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Đạo hàm theo $t$:

Bước đầu tiên là tính đạo hàm của $w$ theo $t$. Ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

$w = \frac{x}{x^2 + y^2}$

Ta có $x = t \cos(u)$ và $y = t \sin(u)$, vì vậy:

• $\frac{d}{dt}x = \frac{d}{dt}(t \cos(u)) = \cos(u)$
• $\frac{d}{dt}y = \frac{d}{dt}(t \sin(u)) = \sin(u)$

Áp dụng quy tắc đạo hàm, ta có:

$\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt}$

Đầu tiên, ta cần tính các đạo hàm riêng:

• $\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2) - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$
• $\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

Do đó:

$\frac{dw}{dt} = \left( \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \right) \cdot \cos(u) + \left( \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} \right) \cdot \sin(u)$

Đạo hàm theo $u$:

Tiếp theo, tính đạo hàm của $w$ theo $u$:

$\frac{dw}{du} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{dx}{du} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{dy}{du}$

Tính các đạo hàm riêng:

• $\frac{\partial w}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$
• $\frac{\partial w}{\partial y} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}$

Với:

• $\frac{dx}{du} = -t \sin(u)$
• $\frac{dy}{du} = t \cos(u)$

Áp dụng vào công thức, ta có:

$\frac{dw}{du} = \left( \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \right) (-t \sin(u)) + \left( \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} \right) (t \cos(u))$

Tổng kết:

Vậy đạo hàm của $w$ theo $t$ và $u$ sẽ có dạng:

• Đạo hàm theo $t$:

$\frac{dw}{dt} = \left( \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \right) \cos(u) + \left( \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} \right) \sin(u)$

• Đạo hàm theo $u$:

$\frac{dw}{du} = \left( \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} \right) (-t \sin(u)) + \left( \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2} \right) (t \cos(u))$

Nếu bạn cần giải thích chi tiết hơn về các bước hoặc ví dụ cụ thể, hãy cho tôi biết!

Câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để áp dụng đạo hàm của hàm hợp trong các trường hợp khác?
2. Tại sao quy tắc đạo hàm hàm hợp lại quan trọng trong toán học?
3. Làm thế nào để tính đạo hàm riêng của các hàm phức tạp như vậy?
4. Làm thế nào để sử dụng đạo hàm trong ứng dụng thực tế, ví dụ như trong cơ học hay kinh tế?
5. Tại sao đạo hàm theo $u$ và $t$ lại có sự khác biệt?

Tip: Khi tính đạo hàm của hàm hợp, luôn nhớ sử dụng đúng quy tắc chuỗi và chú ý đến các biến thay thế.