我们已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，并且它们的高都是 $\sqrt{3}$。我们要求的是圆锥的体积。

设圆锥和圆柱的底面半径为 $r$，圆柱的高为 $h_1 = \sqrt{3}$，圆锥的高为 $h_2 = \sqrt{3}$。

步骤 1：计算圆柱和圆锥的侧面积

1. 圆柱的侧面积公式为： $S_{\text{圆柱}} = 2 \pi r h_1 = 2 \pi r \sqrt{3}$

2. 圆锥的侧面积公式为： $S_{\text{圆锥}} = \pi r l$ 其中 $l$ 是圆锥的母线长，可以通过勾股定理计算： $l = \sqrt{r^2 + h_2^2} = \sqrt{r^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{r^2 + 3}$

   所以，圆锥的侧面积为： $S_{\text{圆锥}} = \pi r \sqrt{r^2 + 3}$

步骤 2：根据侧面积相等条件求解 $r$

因为圆柱和圆锥的侧面积相等，我们有： $2 \pi r \sqrt{3} = \pi r \sqrt{r^2 + 3}$

两边同时除以 $\pi r$（注意 $r \neq 0$），得到： $2 \sqrt{3} = \sqrt{r^2 + 3}$

两边平方，得到： $12 = r^2 + 3$

解出 $r^2$： $r^2 = 9 \implies r = 3 \quad (\text{取正值})$

步骤 3：计算圆锥的体积

圆锥的体积公式为： $V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2$

代入已知 $r = 3$，$h_2 = \sqrt{3}$，得到： $V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3} \pi (3^2) \sqrt{3} = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot \sqrt{3} = 3 \pi \sqrt{3}$

答案

圆锥的体积为 $3 \pi \sqrt{3}$。

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您需要进一步的详细步骤说明吗？或者您对这些步骤有任何问题吗？

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提示

记住，圆锥的体积是底面积乘以高度再乘以三分之一。